giải giúp em ạ ngắn gọn thoi Bài 11. Cho đa thức $P(x)$ với hệ số thực, thỏa mãn,$(x-3)(x+2)P(x)=(x^2-16)P(x+5).$,a) Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ có ít nhất 3 nghiệm.,b) Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ có vô số nghiệm, từ đó xác định tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn yêu,cầu bài toán.

Question

giải giúp em ạ ngắn gọn thoi  Bài 11. Cho đa thức $P(x)$ với hệ số thực, thỏa mãn,$(x-3)(x+2)P(x)=(x^2-16)P(x+5).$,a) Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ có ít nhất 3 nghiệm.,b) Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ có vô số nghiệm, từ đó xác định tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn yêu,cầu bài toán.

Mai Quỳnh Anh · Accepted Answer

a) Chứng minh $ P(x) $ có ít nhất 3 nghiệm:

- Thay $ x = 3 $ vào phương trình:

$$0 = (9 - 16)P(8) \Rightarrow P(8) = 0.$$

→ $ x = 8 $ là nghiệm.

- Thay $ x = -2 $:

$$0 = (4 - 16)P(3) \Rightarrow P(3) = 0.$$

→ $ x = 3 $ là nghiệm.

- Thay $ x = 4 $:

$$(4-3)(4+2)P(4) = 0 \Rightarrow P(4) = 0.$$

→ $ x = 4 $ là nghiệm.

Kết luận: $ P(x) $ có ít nhất 3 nghiệm là $ x = 3, 4, 8 $.

b) Chứng minh $ P(x) $ có vô số nghiệm và tìm dạng tổng quát:

- Từ phần a), áp dụng liên tiếp:

- Thay $ x = -5 $: $ P(0) = 0 $.

- Thay $ x = -6 $: $ P(-1) = 0 $.

- Tiếp tục, ta thấy $ P(x) = 0 $ tại $ x = 3, 4, 8, 0, -1, -6, \ldots $ → Vô số nghiệm.

- Đa thức $ P(x) $ có vô số nghiệm nên $ P(x) \equiv 0 $.

- Hoặc nếu $ P(x) \not\equiv 0 $, nó phải có dạng:

$$P(x) = (x-3)(x-4)(x-8)Q(x),$$

với $ Q(x) $ là đa thức tuần hoàn chu kỳ 5 (do $ P(x+5) $ xuất hiện).

Kết luận:

- Các đa thức thỏa mãn là $ P(x) = 0 $ hoặc $ P(x) = (x-3)(x-4)(x-8)Q(x) $, với $ Q(x+5) = Q(x) $.

Timi · Answer

Bài 11:
a) Đa thức P(x) có ít nhất 3 nghiệm.

Ta có $(x-3)(x+2)P(x)=(x^2-16)P(x+5).$
Thay lần lượt x = 3, x = -2, x = 4, x = -4 vào phương trình trên ta được:
$0.P(3)=(-7)^2P(8)\Rightarrow P(3)=0.$
$(-5)^2P(-2)=0.P(-2)\Rightarrow P(-2)=0.$
$(1)^2P(4)=(-12)^2P(9)\Rightarrow P(4)=0.$
Do đó, đa thức P(x) có ít nhất 3 nghiệm là 3, -2, 4.

b) Đa thức P(x) có vô số nghiệm, từ đó xác định tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giả sử P(x) là đa thức khác đa thức 0 có bậc n. Ta có $(x-3)(x+2)P(x)=(x^2-16)P(x+5).$
Bậc của vế trái là n + 2, còn bậc của vế phải là n. Điều này mâu thuẫn do n + 2 > n. Vậy P(x) phải là đa thức 0.
Như vậy, đa thức P(x) có vô số nghiệm và P(x) = 0.