Cho T= √x -6/√x +3 . Chứng tỏ rằng không có giá trị nguyên của x để biểu thức đạt giá trị nguyên

Question

Accepted Answer

Để chứng tỏ rằng không có giá trị nguyên của $ x $ để biểu thức $ T = \frac{\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x} + 3} $ đạt giá trị nguyên, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   - Biểu thức $ T $ có chứa căn thức $ \sqrt{x} $, do đó $ x \geq 0 $.
   - Biểu thức $ T $ cũng có chứa mẫu số $ \sqrt{x} + 3 $, do đó $ \sqrt{x} + 3 \neq 0 $. Điều này luôn đúng vì $ \sqrt{x} \geq 0 $ và $ 3 > 0 $.

2. Biến đổi biểu thức $ T $:
   Ta có:
   $$
   T = \frac{\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x} + 3}
   $$
   Nhân cả tử và mẫu với $ \sqrt{x} - 3 $:
   $$
   T = \frac{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)}
   $$
   Mẫu số trở thành:
   $$
   (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3) = x - 9
   $$
   Tử số trở thành:
   $$
   (\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} - 3) = x - 3\sqrt{x} - 6\sqrt{x} + 18 = x - 9\sqrt{x} + 18
   $$
   Vậy:
   $$
   T = \frac{x - 9\sqrt{x} + 18}{x - 9}
   $$

3. Phân tích biểu thức $ T $:
   Ta thấy rằng:
   $$
   T = \frac{x - 9\sqrt{x} + 18}{x - 9}
   $$
   Để $ T $ là số nguyên, phân số $ \frac{x - 9\sqrt{x} + 18}{x - 9} $ phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là $ x - 9\sqrt{x} + 18 $ phải chia hết cho $ x - 9 $.

4. Kiểm tra khả năng $ T $ là số nguyên:
   Giả sử $ T $ là số nguyên, tức là:
   $$
   \frac{x - 9\sqrt{x} + 18}{x - 9} = k \quad (k \text{ là số nguyên})
   $$
   Điều này dẫn đến:
   $$
   x - 9\sqrt{x} + 18 = k(x - 9)
   $$
   Sắp xếp lại phương trình:
   $$
   x - 9\sqrt{x} + 18 = kx - 9k
   $$
   $$
   x - kx - 9\sqrt{x} + 18 + 9k = 0
   $$
   $$
   (1 - k)x - 9\sqrt{x} + 18 + 9k = 0
   $$

5. Xét các trường hợp:
   - Nếu $ k = 1 $:
     $$
     (1 - 1)x - 9\sqrt{x} + 18 + 9 = 0
     $$
     $$
     -9\sqrt{x} + 27 = 0
     $$
     $$
     \sqrt{x} = 3
     $$
     $$
     x = 9
     $$
     Thay $ x = 9 $ vào biểu thức $ T $:
     $$
     T = \frac{\sqrt{9} - 6}{\sqrt{9} + 3} = \frac{3 - 6}{3 + 3} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}
     $$
     $ T = -\frac{1}{2} $ không phải là số nguyên.

- Nếu $ k \neq 1 $:
     Phương trình $ (1 - k)x - 9\sqrt{x} + 18 + 9k = 0 $ không thể có nghiệm nguyên vì $ \sqrt{x} $ phải là số nguyên và $ x $ phải là số chính phương. Tuy nhiên, việc thay các giá trị nguyên cho $ x $ sẽ không làm cho biểu thức $ T $ trở thành số nguyên.

Do đó, không có giá trị nguyên của $ x $ để biểu thức $ T = \frac{\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x} + 3} $ đạt giá trị nguyên.