Ưgegmsg sg e Câu 6. Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.,,Chiều dài của đường hầm mô hình là 5cm , mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của đường hầm tạo,được thiết diện là một hình parabol, thiết diện có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều cao. Tính thể tích,không gian bên trong đường hầm mô hình, biết chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công,thức $y=3-\frac25x$ (đơn vị là cm ), với x là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô,hình. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.,Trả lời:

Question

Ưgegmsg sg e Câu 6. Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/dd94b461a8db44f6aca73045cfa85f59.jpg />,Chiều dài của đường hầm mô hình là 5cm , mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của đường hầm tạo,được thiết diện là một hình parabol, thiết diện có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều cao. Tính thể tích,không gian bên trong đường hầm mô hình, biết chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công,thức $y=3-\frac25x$ (đơn vị là cm ), với x là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô,hình. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.,Trả lời:

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5344103,"userName":"Phước Nguyễn"}

Mời bạn tham khảo:

Để tính thể tích $V$ của đường hầm mô hình, ta sử dụng phương pháp tích phân mặt cắt.

Xét một mặt phẳng vuông góc với trục của đường hầm tại vị trí $x$ (với $x$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn, $0 \le x \le 5$ cm). Mặt cắt này là một hình parabol.

Chiều cao của parabol tại vị trí $x$ là $h(x) = y = 3 - \frac{2}{5}x$ (cm).

Độ dài cạnh đáy của parabol tại vị trí $x$ là $b(x)$. Theo đề bài, cạnh đáy gấp đôi chiều cao, nên $b(x) = 2h(x) = 2(3 - \frac{2}{5}x) = 6 - \frac{4}{5}x$ (cm).

Diện tích của mặt cắt parabol tại vị trí $x$, ký hiệu là $A(x)$, được tính bằng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và dây cung đáy: $A = \frac{2}{3} imes ext{đáy} imes ext{chiều cao}$.

Do đó, $A(x) = \frac{2}{3} b(x) h(x) = \frac{2}{3} [2h(x)] h(x) = \frac{4}{3} [h(x)]^2$.

Thay $h(x) = 3 - \frac{2}{5}x$ vào, ta được:

$A(x) = \frac{4}{3} (3 - \frac{2}{5}x)^2$ (cm$^2$).

Thể tích $V$ của đường hầm được tính bằng cách lấy tích phân diện tích mặt cắt $A(x)$ theo biến $x$ từ $0$ đến $5$:

$V = \int_{0}^{5} A(x) dx = \int_{0}^{5} \frac{4}{3} (3 - \frac{2}{5}x)^2 dx$

Đặt $u = 3 - \frac{2}{5}x$. Khi đó, $du = -\frac{2}{5} dx$, suy ra $dx = -\frac{5}{2} du$.

Đổi cận tích phân:

Khi $x = 0$, $u = 3 - \frac{2}{5}(0) = 3$.

Khi $x = 5$, $u = 3 - \frac{2}{5}(5) = 3 - 2 = 1$.

Thay vào tích phân:

$V = \int_{3}^{1} \frac{4}{3} u^2 (-\frac{5}{2} du) = \int_{1}^{3} \frac{4}{3} u^2 (\frac{5}{2} du)$

$V = \frac{4}{3} imes \frac{5}{2} \int_{1}^{3} u^2 du = \frac{10}{3} \int_{1}^{3} u^2 du$

$V = \frac{10}{3} \left[ \frac{u^3}{3} ight]_{1}^{3} = \frac{10}{3} \left( \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} ight)$

$V = \frac{10}{3} \left( \frac{27}{3} - \frac{1}{3} ight) = \frac{10}{3} \left( \frac{26}{3} ight)$

$V = \frac{260}{9}$ (cm$^3$)

Ta cần làm tròn kết quả đến hàng đơn vị:

$V = \frac{260}{9} \approx 28.888...$

Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được $V \approx 29$ cm$^3$.

Trả lời:

Thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình là $V = \int_{0}^{5} \frac{4}{3} (3 - \frac{2}{5}x)^2 dx = \frac{260}{9}$ cm$^3$.

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: $V \approx 29$ cm$^3$.

Timi · Answer

Câu 6.
Để tính thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình, ta sẽ sử dụng phương pháp tính thể tích khối tròn xoay.

Bước 1: Xác định phương trình của thiết diện parabol.
Thiết diện parabol có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều cao, do đó ta có:
$$ y = 3 - \frac{2}{5}x $$

Bước 2: Xác định giới hạn tích phân.
Khi $ y = 0 $:
$$ 3 - \frac{2}{5}x = 0 $$
$$ \frac{2}{5}x = 3 $$
$$ x = \frac{15}{2} = 7.5 $$

Do đó, giới hạn tích phân là từ $ x = 0 $ đến $ x = 7.5 $.

Bước 3: Tính thể tích khối tròn xoay.
Thể tích $ V $ của khối tròn xoay tạo thành từ việc quay một hình phẳng quanh trục $ x $ được tính bằng công thức:
$$ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx $$

Trong trường hợp này:
$$ f(x) = 3 - \frac{2}{5}x $$

Do đó:
$$ V = \pi \int_{0}^{7.5} \left(3 - \frac{2}{5}x\right)^2 \, dx $$

Bước 4: Thực hiện phép tích phân.
$$ V = \pi \int_{0}^{7.5} \left(3 - \frac{2}{5}x\right)^2 \, dx $$
$$ V = \pi \int_{0}^{7.5} \left(9 - \frac{12}{5}x + \frac{4}{25}x^2\right) \, dx $$

Tích phân từng phần:
$$ \int_{0}^{7.5} 9 \, dx = 9x \Big|_{0}^{7.5} = 9 \times 7.5 = 67.5 $$

$$ \int_{0}^{7.5} -\frac{12}{5}x \, dx = -\frac{12}{5} \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{7.5} = -\frac{12}{5} \cdot \frac{(7.5)^2}{2} = -\frac{12}{5} \cdot \frac{56.25}{2} = -\frac{12}{5} \cdot 28.125 = -67.5 $$

$$ \int_{0}^{7.5} \frac{4}{25}x^2 \, dx = \frac{4}{25} \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{7.5} = \frac{4}{25} \cdot \frac{(7.5)^3}{3} = \frac{4}{25} \cdot \frac{421.875}{3} = \frac{4}{25} \cdot 140.625 = 22.5 $$

Do đó:
$$ V = \pi (67.5 - 67.5 + 22.5) = 22.5\pi $$

Bước 5: Tính thể tích và làm tròn đến hàng đơn vị.
$$ V = 22.5 \times 3.14159 \approx 70.685775 $$

Làm tròn đến hàng đơn vị:
$$ V \approx 71 \text{ cm}^3 $$

Đáp số: Thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình là 71 cm³.