Một hình nón có bán kính đáy là 8 cm, đường sinh là 17 cm. Một hình cầu có thể tích bằng thể tích hình nón đó. Tính bán kính hình cầu (theo đơn vị centimét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Question

Accepted Answer

Để tính bán kính hình cầu có thể tích bằng thể tích của hình nón đã cho, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Tính chiều cao của hình nón:
   - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông có các cạnh là chiều cao $ h $, bán kính đáy $ r $, và đường sinh $ l $:
     $$
     h^2 + r^2 = l^2
     $$
     Thay $ r = 8 $ cm và $ l = 17 $ cm:
     $$
     h^2 + 8^2 = 17^2
     $$
     $$
     h^2 + 64 = 289
     $$
     $$
     h^2 = 289 - 64
     $$
     $$
     h^2 = 225
     $$
     $$
     h = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
     $$

2. Tính thể tích của hình nón:
   - Công thức thể tích của hình nón:
     $$
     V_{\text{nón}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h
     $$
     Thay $ r = 8 $ cm và $ h = 15 $ cm:
     $$
     V_{\text{nón}} = \frac{1}{3} \pi (8)^2 (15)
     $$
     $$
     V_{\text{nón}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 15
     $$
     $$
     V_{\text{nón}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 960
     $$
     $$
     V_{\text{nón}} = 320 \pi \text{ cm}^3
     $$

3. Tính bán kính của hình cầu:
   - Thể tích của hình cầu:
     $$
     V_{\text{cầu}} = \frac{4}{3} \pi R^3
     $$
   - Vì thể tích của hình cầu bằng thể tích của hình nón:
     $$
     \frac{4}{3} \pi R^3 = 320 \pi
     $$
   - Chia cả hai vế cho $ \pi $:
     $$
     \frac{4}{3} R^3 = 320
     $$
   - Nhân cả hai vế với $ \frac{3}{4} $:
     $$
     R^3 = 320 \times \frac{3}{4}
     $$
     $$
     R^3 = 240
     $$
   - Lấy căn bậc ba của cả hai vế:
     $$
     R = \sqrt[3]{240}
     $$
     $$
     R \approx 6.2 \text{ cm}
     $$

Vậy bán kính của hình cầu là khoảng 6.2 cm.