Bài toán 10

Câu 17. Để giải bất phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức: Ta nhận thấy rằng $$ là một hiệu hai bình phương, do đó ta có thể viết lại nó dưới dạng: $$ 2. Xác định các điểm làm thay đổi dấu: Các điểm làm thay đổi dấu của biểu thức $$ là $$ và $$. 3. Lập bảng xét dấu: Ta lập bảng xét dấu cho biểu thức $$: | x | (-∞, -2) | -2 | (-2, 2) | 2 | (2, +∞) | |:--------:|:------------:|:------:|:-----------:|:-----:|:-----------:| | x - 2 | - | 0 | - | 0 | + | | x + 2 | - | 0 | + | 0 | + | | (x - 2)(x + 2) | + | 0 | - | 0 | + | 4. Xác định tập nghiệm: Bất phương trình $$ tương đương với $$. Từ bảng xét dấu, ta thấy biểu thức $$ dương ở các khoảng $$ và $$. Do đó, tập nghiệm của bất phương trình $$ là: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 18 Để giải phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: $$. Ta thấy rằng $$ luôn dương vì nó là một parabol mở lên và có đỉnh ở phía trên trục hoành (vì $$ và $$). - Biểu thức bên phải phải không âm: $$. 2. Giải phương trình: - Ta bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: $$ $$ - Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: $$ $$ 3. Giải phương trình bậc hai: - Tìm nghiệm của phương trình $$ bằng công thức nghiệm: $$ Với $$, $$, $$: $$ $$ $$ 4. Kiểm tra điều kiện xác định: - Kiểm tra $$: $$ - Kiểm tra $$: $$ 5. Kết luận: - Chỉ có $$ thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy tập nghiệm của phương trình là $$. Đáp án đúng là: $$. Câu 19 Để giải phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có hai căn thức, do đó ta cần đảm bảo rằng các biểu thức dưới dấu căn đều không âm: $$ $$ Giải bất phương trình đầu tiên: $$ Vẽ biểu đồ số hoặc sử dụng phương pháp thử nghiệm các khoảng, ta thấy: $$ Giải bất phương trình thứ hai: $$ Vẽ biểu đồ số hoặc sử dụng phương pháp thử nghiệm các khoảng, ta thấy: $$ Giao của hai tập hợp này là: $$ Bước 2: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức $$ $$ Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế và giải phương trình bậc hai $$ $$ $$ Bước 4: Giải phương trình bậc hai $$ $$ Vậy: $$ Bước 5: Kiểm tra lại các nghiệm trong điều kiện xác định - Với $$: $$ $$ Cả hai biểu thức đều bằng 0, thỏa mãn ĐKXĐ. - Với $$: $$ $$ Cả hai biểu thức đều bằng 55, thỏa mãn ĐKXĐ. Tuy nhiên, kiểm tra lại trong điều kiện xác định ban đầu, chỉ có $$ nằm trong khoảng $$. Kết luận: $$ Đáp án đúng là: B. $$ Câu 20 a) Phương trình tổng quát của đường thẳng d, đi qua M và có vectơ pháp tuyến B là: - Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là B(2, -1). - Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M(1, 2) và có vectơ pháp tuyến B(2, -1) là: $$ $$ $$ b) Phương trình tham số của đường thẳng $$ đi qua N và có vectơ chỉ phương ử là: - Vectơ chỉ phương của đường thẳng $$ là (1, 1). - Phương trình tham số của đường thẳng $$ đi qua điểm N(1, -1) và có vectơ chỉ phương (1, 1) là: $$ c) Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua M và N là: - Tọa độ của vectơ MN là: $$ d) Tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua M và N là: - Vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua M và N là (3, 2). Đáp số: a) Phương trình tổng quát của đường thẳng d là $$. b) Phương trình tham số của đường thẳng $$ là $$. c) Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua M và N là (0, -3). d) Tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua M và N là (3, 2). Câu 21. Để xác định vectơ nào không là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $$ có phương trình $$, ta cần kiểm tra xem mỗi vectơ có thoả mãn điều kiện là vectơ pháp tuyến của đường thẳng hay không. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $$ là $$. Trong trường hợp này, phương trình đường thẳng là $$, nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là $$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng vectơ đã cho: 1. $$: - Đây chính là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $$, do đó nó là vectơ pháp tuyến. 2. $$: - Ta thấy rằng $$, tức là vectơ này là bội của vectơ pháp tuyến $$. Do đó, nó cũng là vectơ pháp tuyến. 3. $$: - Ta thấy rằng $$ không phải là bội của $$. Do đó, nó không phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $$. 4. $$: - Ta thấy rằng $$, tức là vectơ này là bội của vectơ pháp tuyến $$. Do đó, nó cũng là vectơ pháp tuyến. Từ các phân tích trên, ta kết luận rằng vectơ không phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $$ là: $$ Đáp án: $$ Câu 22. Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $$ được cho bởi phương trình tham số: $$ ta nhận thấy rằng trong phương trình tham số này, biến $$ xuất hiện ở cả hai phương trình. Khi $$ thay đổi, tọa độ của điểm trên đường thẳng cũng thay đổi theo quy luật đã cho. Trong phương trình tham số: $$ $$ biến $$ là tham số chung. Ta có thể thấy rằng khi $$ tăng thêm 1 đơn vị, $$ sẽ tăng thêm 2 đơn vị và $$ sẽ giảm đi 5 đơn vị. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $$ sẽ là: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 23. Để xác định điểm nào nằm trên đường thẳng $$, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình đường thẳng và kiểm tra xem có thỏa mãn phương trình hay không. - Với điểm $$: $$ Do đó, điểm $$ không nằm trên đường thẳng $$. - Với điểm $$: $$ Do đó, điểm $$ nằm trên đường thẳng $$. - Với điểm $$: $$ Do đó, điểm $$ không nằm trên đường thẳng $$. - Với điểm $$: $$ Do đó, điểm $$ không nằm trên đường thẳng $$. Vậy điểm nằm trên đường thẳng $$ là điểm $$. Đáp án đúng là: $$. Câu 24: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là $$ Đầu tiên, ta tính vectơ chỉ phương của đường thẳng AB: $$ Như vậy, vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $$, không phải là $$. Do đó, phần này sai. b) Đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến là $$ Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB phải vuông góc với vectơ chỉ phương của nó. Ta kiểm tra xem $$ có vuông góc với $$ hay không: $$ Do đó, $$ không phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB. Phần này cũng sai. c) Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là $$ Ta viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB từ vectơ chỉ phương $$ và điểm $$: $$ $$ $$ Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là $$, không phải là $$. Do đó, phần này sai. d) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $$ và song song với AB là $$ Đường thẳng song song với AB sẽ có cùng vectơ chỉ phương $$. Ta viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $$ với vectơ chỉ phương $$: $$ Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $$ và song song với AB là $$, không phải là $$. Do đó, phần này sai. Kết luận Tất cả các phần đều sai. Câu 25. Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $$ và $$, ta cần kiểm tra các hệ số của chúng. Phương trình của $$ là: $$ Phương trình của $$ là: $$ Ta viết lại phương trình của $$ dưới dạng: $$ $$ Bây giờ, ta thấy rằng phương trình của $$ có thể được viết lại là: $$ Như vậy, phương trình của $$ là: $$ So sánh với phương trình của $$: $$ Ta thấy rằng cả hai phương trình đều giống nhau, tức là: $$ $$ Do đó, hai đường thẳng này trùng nhau. Đáp án đúng là: C. Trùng nhau. Câu 26. Để tính khoảng cách từ điểm $$ đến đường thẳng $$, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Công thức khoảng cách từ điểm $$ đến đường thẳng $$ là: $$ Trong đó: - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ Thay các giá trị này vào công thức: $$ $$ $$ $$ Vậy khoảng cách từ điểm $$ đến đường thẳng $$ là $$. Do đó, đáp án đúng là: $$ Tuy nhiên, ta thấy rằng đáp án $$ là $$, nhưng kết quả thực tế là $$. Vì vậy, có thể có lỗi trong các đáp án đã cho. Đáp án chính xác theo tính toán là $$. Câu 27: Để kiểm tra tính đúng, sai của các khẳng định về góc giữa hai đường thẳng, ta sẽ sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng $$ và $$ dựa trên hệ số góc của chúng. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng $$ và $$ là: $$ Trong đó, $$ là góc giữa hai đường thẳng. a) $$ và $$ - Đường thẳng $$ có dạng $$. Vậy $$. - Đường thẳng $$ là đường thẳng thẳng đứng, tức là $$ không xác định. Do đó, góc giữa $$ và $$ là $$, không phải $$. Kết luận: Khẳng định a) sai. b) $$ và $$ - Đường thẳng $$ có dạng $$. Vậy $$. - Đường thẳng $$ có dạng $$. Vậy $$. Áp dụng công thức: $$ Ta có: $$ Kết luận: Khẳng định b) sai. c) $$ và $$ - Đường thẳng $$ có dạng $$. Vậy $$. - Đường thẳng $$ có dạng $$. Vậy $$. Áp dụng công thức: $$ Ta có: $$ Kết luận: Khẳng định c) đúng. d) $$ và $$ - Đường thẳng $$ có dạng $$. Vậy $$. - Đường thẳng $$ có dạng $$. Vậy $$. Áp dụng công thức: $$ Ta có: $$ Kết luận: Khẳng định d) đúng. Tóm lại: - Khẳng định a) sai. - Khẳng định b) sai. - Khẳng định c) đúng. - Khẳng định d) đúng. Câu 28. a) Khẳng định này đúng vì phương trình đường tròn có dạng $$, trong đó $$ là tọa độ tâm và $$ là bán kính. Ở đây, ta có $$. Do đó, tâm của đường tròn là $$ và bán kính là $$. b) Khẳng định này cũng đúng vì phương trình đường tròn có tâm $$ và bán kính $$ sẽ là $$, tức là $$. Đáp số: a) Đúng b) Đúng