giải bài tập

Câu 10: Khi gieo một đồng xu cân đối liên tiếp 3 lần, ta có tổng số kết quả có thể xảy ra là: \[ 2^3 = 8 \] Biến cố E: Có hai lần xuất hiện mặt ngửa và một lần xuất hiện mặt sấp. Ta liệt kê các trường hợp có thể xảy ra: - Ngửa, Ngửa, Sấp - Ngửa, Sấp, Ngửa - Sấp, Ngửa, Ngửa Như vậy, có 3 trường hợp thuận lợi cho biến cố E. Xác suất của biến cố E là: \[ P(E) = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{tổng số trường hợp có thể xảy ra}} = \frac{3}{8} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\frac{3}{8} \] Câu 11: Trong khai triển nhị thức $(x+3)^5$, ta có thể viết dưới dạng tổng các số hạng theo công thức nhị thức Newton: \[ (x + 3)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} 3^k \] Cụ thể, ta sẽ tính từng số hạng: - Khi $k = 0$: $\binom{5}{0} x^{5-0} 3^0 = 1 \cdot x^5 \cdot 1 = x^5$ - Khi $k = 1$: $\binom{5}{1} x^{5-1} 3^1 = 5 \cdot x^4 \cdot 3 = 15x^4$ - Khi $k = 2$: $\binom{5}{2} x^{5-2} 3^2 = 10 \cdot x^3 \cdot 9 = 90x^3$ - Khi $k = 3$: $\binom{5}{3} x^{5-3} 3^3 = 10 \cdot x^2 \cdot 27 = 270x^2$ - Khi $k = 4$: $\binom{5}{4} x^{5-4} 3^4 = 5 \cdot x \cdot 81 = 405x$ - Khi $k = 5$: $\binom{5}{5} x^{5-5} 3^5 = 1 \cdot 1 \cdot 243 = 243$ Như vậy, khai triển đầy đủ của $(x+3)^5$ là: \[ (x+3)^5 = x^5 + 15x^4 + 90x^3 + 270x^2 + 405x + 243 \] Số hạng chứa $x^4$ trong khai triển này là $15x^4$. Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~15x^4 \] Câu 12: Để tìm hệ số của \( x^3 \) trong khai triển \( (2x - 3)^5 \), ta sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức nhị thức Newton cho khai triển \( (a + b)^n \) là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \( a = 2x \), \( b = -3 \), và \( n = 5 \). Ta cần tìm hệ số của \( x^3 \), tức là \( k \) sao cho \( (2x)^{5-k} (-3)^k \) có \( x^3 \). Điều này yêu cầu: \[ 5 - k = 3 \] \[ k = 2 \] Bây giờ, ta tính hệ số của \( x^3 \): \[ \binom{5}{2} (2x)^{5-2} (-3)^2 \] \[ = \binom{5}{2} (2x)^3 (-3)^2 \] \[ = \binom{5}{2} \cdot 2^3 \cdot x^3 \cdot 9 \] \[ = 10 \cdot 8 \cdot x^3 \cdot 9 \] \[ = 720 \cdot x^3 \] Vậy hệ số của \( x^3 \) trong khai triển \( (2x - 3)^5 \) là 720. Đáp án đúng là: C. 720. Câu 1: A. Có 5 cách chọn một quyển sách Toán vì có 5 quyển sách Toán khác nhau. B. Có 13 cách chọn một quyển sách Toán hoặc Tiếng Anh vì có 5 quyển sách Toán và 7 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Tổng số cách chọn là: \[ 5 + 7 = 12 \] C. Có 6 cách chọn một quyển sách Văn vì có 6 quyển sách Văn khác nhau. D. Có 10 cách chọn một quyển sách Toán hoặc Văn vì có 5 quyển sách Toán và 6 quyển sách Văn khác nhau. Tổng số cách chọn là: \[ 5 + 6 = 11 \] Vậy, các câu đúng là: A. Có 5 cách chọn một quyển sách Toán. C. Có 6 cách chọn một quyển sách Văn. Đáp án: A và C. Câu 2: A. Số cách chọn 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng là: \[ 5 \times 4 \times \binom{3}{2} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \] B. Số cách chọn 4 viên bi bất kỳ từ 12 viên bi là: \[ \binom{12}{4} = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495 \] C. Số cách chọn 1 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng là: \[ 5 \times \binom{4}{2} \times 3 = 5 \times 6 \times 3 = 90 \] D. Số cách chọn 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng là: \[ \binom{5}{2} \times 4 \times 3 = 10 \times 4 \times 3 = 120 \] Đáp án đúng là: D. Có 120 cách chọn 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng. Câu 3: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần của câu hỏi. 1. Xác định không gian mẫu: - Mỗi lần gieo đồng xu có 2 kết quả có thể xảy ra: Mặt sấp (S) hoặc Mặt ngửa (N). - Gieo liên tiếp 3 lần, tổng số kết quả có thể xảy ra là \(2^3 = 8\). - Do đó, không gian mẫu có 8 phần tử: {SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}. 2. Xác định biến cố A: "Mặt sấp xuất hiện đúng một lần": - Các kết quả thỏa mãn biến cố A là: {SNN, NSN, NNS}. - Số phần tử của biến cố A là 3. 3. Xác định biến cố B: "Cả ba lần xuất hiện là như nhau": - Các kết quả thỏa mãn biến cố B là: {SSS, NNN}. - Số phần tử của biến cố B là 2. 4. Kiểm tra các lựa chọn: - A. Số phần tử của biến cố A là 3. Đúng. - B. Số phần tử của biến cố B là 4. Sai, vì số phần tử của biến cố B là 2. - C. Cả hai biến cố A và B đều là tập con của không gian mẫu. Đúng. - D. Số phần tử không gian mẫu là 8. Đúng. Kết luận: - Lựa chọn đúng là: A, C, D. Đáp án: A, C, D. Câu 4: Khi gieo một con xúc xắc, không gian mẫu bao gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra. Mỗi mặt của xúc xắc có thể xuất hiện với các số chấm từ 1 đến 6. Do đó, không gian mẫu có 6 phần tử. Biến cố A: "Con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3". Các số chấm chia hết cho 3 trong các mặt xúc xắc là 3 và 6. Vậy biến cố A có 2 phần tử. Biến cố đối của biến cố A là biến cố "Con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm không chia hết cho 3". Các số chấm không chia hết cho 3 trong các mặt xúc xắc là 1, 2, 4 và 5. Vậy biến cố đối của biến cố A có 4 phần tử. Xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{\text{số phần tử của biến cố A}}{\text{số phần tử của không gian mẫu}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,33 \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. Số phần tử của biến cố đối của biến cố A là 4. Đúng. B. Xác suất của biến cố A là 0,2. Sai, vì xác suất đúng là khoảng 0,33. C. Số phần tử không gian mẫu là 6. Đúng. D. Số phần tử của biến cố A là 3. Sai, vì số phần tử đúng là 2. Vậy, các lựa chọn đúng là: A. Số phần tử của biến cố đối của biến cố A là 4. C. Số phần tử không gian mẫu là 6. Đáp án: A và C. Câu 1: Để khai triển nhị thức $(3x - 2)^4$, ta sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức này cho phép ta khai triển $(a + b)^n$ dưới dạng tổng các hạng tử, trong đó mỗi hạng tử có dạng $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$. Trong trường hợp này, $a = 3x$, $b = -2$, và $n = 4$. Ta sẽ áp dụng công thức nhị thức Newton như sau: \[ (3x - 2)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (3x)^{4-k} (-2)^k \] Ta sẽ tính từng hạng tử một: 1. Khi $k = 0$: \[ \binom{4}{0} (3x)^{4-0} (-2)^0 = 1 \cdot (3x)^4 \cdot 1 = 81x^4 \] 2. Khi $k = 1$: \[ \binom{4}{1} (3x)^{4-1} (-2)^1 = 4 \cdot (3x)^3 \cdot (-2) = 4 \cdot 27x^3 \cdot (-2) = -216x^3 \] 3. Khi $k = 2$: \[ \binom{4}{2} (3x)^{4-2} (-2)^2 = 6 \cdot (3x)^2 \cdot 4 = 6 \cdot 9x^2 \cdot 4 = 216x^2 \] 4. Khi $k = 3$: \[ \binom{4}{3} (3x)^{4-3} (-2)^3 = 4 \cdot (3x)^1 \cdot (-8) = 4 \cdot 3x \cdot (-8) = -96x \] 5. Khi $k = 4$: \[ \binom{4}{4} (3x)^{4-4} (-2)^4 = 1 \cdot (3x)^0 \cdot 16 = 1 \cdot 1 \cdot 16 = 16 \] Gộp tất cả các hạng tử lại, ta có: \[ (3x - 2)^4 = 81x^4 - 216x^3 + 216x^2 - 96x + 16 \] Vậy, khai triển của $(3x - 2)^4$ là: \[ 81x^4 - 216x^3 + 216x^2 - 96x + 16 \] Câu 2: Để tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không lớn hơn 6, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định không gian mẫu: - Mỗi con xúc xắc có 6 mặt, mỗi mặt có các số chấm từ 1 đến 6. - Khi gieo đồng thời hai con xúc xắc, số kết quả có thể xảy ra là \(6 \times 6 = 36\) kết quả. 2. Xác định các trường hợp thuận lợi: - Chúng ta cần tìm các cặp số (a, b) sao cho \(a + b \leq 6\), trong đó a và b là số chấm trên hai con xúc xắc. - Các cặp số thỏa mãn điều kiện này là: - (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5) - (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4) - (3, 1), (3, 2), (3, 3) - (4, 1), (4, 2) - (5, 1) - Tổng cộng có 15 cặp số thỏa mãn điều kiện \(a + b \leq 6\). 3. Tính xác suất: - Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không lớn hơn 6 là: \[ P = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \] Vậy xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không lớn hơn 6 là $\frac{5}{12}$.