Giải giúp mình vs

Câu 1: Trước tiên, ta cần tìm tâm và bán kính của mặt cầu đi qua bốn điểm $$ và $$. Ta giả sử tâm của mặt cầu là $$ và bán kính là $$. Ta có: $$ Tính khoảng cách từ tâm đến các điểm: $$ $$ $$ $$ Vì các khoảng cách này đều bằng $$, ta có: $$ $$ $$ Từ đây, ta rút ra: $$ $$ $$ Giải các phương trình này, ta tìm được: $$ Do đó, tâm của mặt cầu là $$. Bây giờ, ta tính bán kính $$: $$ $$ Vậy bán kính mặt cầu là $$, với $$ và $$. Cuối cùng, ta tính giá trị của biểu thức $$: $$ Đáp số: $$. Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ tâm $$ của mặt cầu (S) dựa vào thông tin rằng tâm $$ nằm trên đường thẳng $$. 2. Xác định bán kính $$ của mặt cầu (S) dựa vào điều kiện tiếp xúc với hai mặt phẳng $$ và $$. 3. Tính tổng $$. Bước 1: Tìm tọa độ tâm $$ Tâm $$ nằm trên đường thẳng $$ có phương trình $$. Do đó, ta có: $$ Tâm $$ có tọa độ $$. Bước 2: Xác định bán kính $$ Mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng $$ và $$. Ta tính khoảng cách từ tâm $$ đến mỗi mặt phẳng để xác định bán kính $$. Khoảng cách từ điểm $$ đến mặt phẳng $$: $$ Khoảng cách từ điểm $$ đến mặt phẳng $$: $$ Vì mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt phẳng, ta có: $$ $$ Phương trình này có hai trường hợp: 1. $$ (không có nghiệm) 2. $$ $$ $$ $$ Do đó, tọa độ tâm $$ là $$. Bước 3: Tính tổng $$ Với $$, $$, $$, ta có: $$ Vậy tổng $$. Câu 3: Để tìm diện tích của mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng $$ và $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng $$ và $$: - Đường thẳng $$ có vectơ chỉ phương $$ và đi qua điểm $$. - Đường thẳng $$ có vectơ chỉ phương $$ và đi qua điểm $$. Vectơ $$. Ta tính tích có hướng của $$ và $$: $$ $$ $$ Độ dài của vectơ này là: $$ Độ dài của vectơ $$ là: $$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng là: $$ $$ $$ 2. Tìm bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S): - Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng là $$. 3. Diện tích của mặt cầu (S): - Diện tích của mặt cầu là $$. Làm tròn đến hàng phần mười, ta có: $$ Vậy diện tích của mặt cầu (S) là $$. Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $$ và mặt cầu $$: - Viết phương trình tham số của đường thẳng $$: $$ - Thay vào phương trình mặt cầu $$: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ 2. Tìm tọa độ giao điểm: - Với $$: $$ - Với $$: $$ 3. Chọn điểm $$ với $$: - Ta thấy $$, do đó chọn điểm $$. 4. Tính giá trị biểu thức $$: - Thay tọa độ của $$ vào biểu thức: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Vậy giá trị biểu thức $$ là 49. Đáp số: $$. Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ phương trình từ các điều kiện đã cho. Bước 1: Xác định các phương trình mặt cầu - Mặt cầu tâm $$ và bán kính $$: $$ - Mặt cầu tâm $$ và bán kính $$: $$ - Mặt cầu tâm $$ và bán kính $$: $$ - Mặt cầu tâm $$ và bán kính $$: $$ Bước 2: Lập hệ phương trình Chúng ta sẽ lấy phương trình của hai mặt cầu bất kỳ để trừ cho nhau, từ đó tìm ra các phương trình liên quan đến $$. Phương trình 1: $$ $$ Trừ hai phương trình này: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Phương trình 2: $$ $$ Trừ hai phương trình này: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Phương trình 3: $$ $$ Trừ hai phương trình này: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Bước 3: Giải hệ phương trình Ta có hệ phương trình: $$ Giải phương trình $$: $$ Thay vào phương trình $$: $$ $$ $$ $$ $$ Thay vào phương trình $$: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Tính $$: $$ Tính $$: $$ Kết luận Tọa độ điểm $$ là $$. Giá trị biểu thức $$: $$ Đáp số: $$.