giải giúp ạ

Câu 3: a) Đường thẳng \( d \) có một vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{y} = (-2; 1; 1) \). Đường thẳng \( d' \) có một vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u} = (4; -2; -1) \). b) Để kiểm tra hai vectơ \( \overrightarrow{y} \) và \( \overrightarrow{u} \) có cùng phương hay không, ta xét tỉ số của các thành phần tương ứng: \[ \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \quad \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}, \quad \frac{1}{-1} = -1 \] Tỉ số của các thành phần không giống nhau, do đó hai vectơ \( \overrightarrow{y} \) và \( \overrightarrow{u} \) không cùng phương. c) Phương trình tham số của đường thẳng \( d \) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 7 - 2u \\ y = 3 + u, \quad u \in \mathbb{R} \\ z = 2 + u \end{array} \right. \] d) Để kiểm tra hai đường thẳng \( d \) và \( d' \) có chéo nhau hay không, ta cần kiểm tra xem chúng có điểm chung hay không. Ta giả sử hai đường thẳng có điểm chung \( M(x; y; z) \). Từ phương trình tham số của \( d \): \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 7 - 2u \\ y = 3 + u \\ z = 2 + u \end{array} \right. \] Từ phương trình tham số của \( d' \): \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 4t \\ y = 5 - 2t \\ z = 3 - t \end{array} \right. \] Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 7 - 2u = 3 + 4t \\ 3 + u = 5 - 2t \\ 2 + u = 3 - t \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: Từ phương trình thứ hai: \[ u = 2 - 2t \] Thay vào phương trình thứ ba: \[ 2 + (2 - 2t) = 3 - t \] \[ 4 - 2t = 3 - t \] \[ t = 1 \] Thay \( t = 1 \) vào \( u = 2 - 2t \): \[ u = 2 - 2(1) = 0 \] Thay \( u = 0 \) và \( t = 1 \) vào phương trình thứ nhất để kiểm tra: \[ 7 - 2(0) = 3 + 4(1) \] \[ 7 = 7 \] Vậy hệ phương trình có nghiệm \( u = 0 \) và \( t = 1 \), tức là hai đường thẳng có điểm chung. Tuy nhiên, vì hai vectơ chỉ phương không cùng phương, nên hai đường thẳng chéo nhau. Đáp số: Hai đường thẳng \( d \) và \( d' \) chéo nhau. Câu 4: a) Ta thấy $M(1;2;1)$ thỏa mãn phương trình tham số của đường thẳng $d$, do đó điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$. b) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(-2;1;-1)$. Do đó, nhận xét này là sai. c) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;3;4)$ và song song với đường thẳng $d$, do đó vectơ chỉ phương của $\Delta$ cũng là $\overrightarrow{u}=(-2;1;-1)$. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ sẽ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 2t \\ y = 3 + t, ~ t \in \mathbb{R}. \\ z = 4 - t \end{array} \right. \] Nhận xét này là sai vì phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đã cho là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t \\ y = 3 + t, ~ t \in \mathbb{R}. \\ z = 4 + t \end{array} \right. \] d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;3;4)$ và song song với đường thẳng $d$, do đó vectơ chỉ phương của $\Delta$ cũng là $\overrightarrow{u}=(-2;1;-1)$. Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ sẽ là: \[ \frac{x-2}{-2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-4}{-1} \] Nhận xét này là sai vì phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đã cho là: \[ \frac{x-2}{2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-4}{1} \] Đáp án đúng là: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai. Câu 1: Để tìm phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;1;3)$, song song với mặt phẳng $(P): x + y - 2z + 2 = 0$ và vuông góc với đường thẳng $d: \frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-2}{2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng $(P): x + y - 2z + 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_P = (1, 1, -2)$. 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d: Đường thẳng $d: \frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-2}{2}$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}_d = (1, -2, 2)$. 3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Vì đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với đường thẳng $d$, nên vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}_\Delta = \vec{n}_P \times \vec{u}_d$. Ta tính tích vector: \[ \vec{u}_\Delta = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 2 - (-2) \cdot (-2)) - \vec{j}(1 \cdot 2 - (-2) \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot (-2) - 1 \cdot 1) \] \[ = \vec{i}(2 - 4) - \vec{j}(2 + 2) + \vec{k}(-2 - 1) = -2\vec{i} - 4\vec{j} - 3\vec{k} \] Vậy $\vec{u}_\Delta = (-2, -4, -3)$. 4. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2, 1, 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}_\Delta = (-2, -4, -3)$. Phương trình chính tắc của $\Delta$ là: \[ \frac{x - 2}{-2} = \frac{y - 1}{-4} = \frac{z - 3}{-3} \] 5. So sánh với phương trình đã cho: Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ được cho là $\frac{x + a}{b} = \frac{y - 5}{c} = \frac{z + d}{3}$. So sánh với phương trình trên, ta có: \[ \frac{x - 2}{-2} = \frac{y - 1}{-4} = \frac{z - 3}{-3} \] Suy ra: \[ a = -2, \quad b = -2, \quad c = -4, \quad d = -3 \] 6. Tính giá trị của biểu thức $M = a + b + c + d$: \[ M = -2 + (-2) + (-4) + (-3) = -11 \] Vậy giá trị của biểu thức $M$ là $\boxed{-11}$. Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). 2. Xác định phương trình đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC). 3. Thay tọa độ của điểm M vào phương trình đường thẳng để tìm giá trị của a và b. 4. Tính \(a^b\) và làm tròn kết quả. Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) Vectơ AB = B - A = (1 - 2, 2 + 1, 1 - 0) = (-1, 3, 1) Vectơ AC = C - A = (3 - 2, -2 + 1, 0 - 0) = (1, -1, 0) Vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (ABC) là tích vector của AB và AC: \[ n = AB \times AC = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = i(3 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) - j((-1) \cdot 0 - 1 \cdot 1) + k((-1) \cdot (-1) - 3 \cdot 1) \] \[ n = i(0 + 1) - j(0 - 1) + k(1 - 3) = i + j - 2k \] \[ n = (1, 1, -2) \] Bước 2: Xác định phương trình đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là: \[ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 3}{-2} = t \] Bước 3: Thay tọa độ của điểm M vào phương trình đường thẳng Điểm M(2, a, b) nằm trên đường thẳng, vậy ta có: \[ 2 - 1 = t \Rightarrow t = 1 \] \[ a - 1 = t \Rightarrow a - 1 = 1 \Rightarrow a = 2 \] \[ b + 3 = -2t \Rightarrow b + 3 = -2 \cdot 1 \Rightarrow b + 3 = -2 \Rightarrow b = -5 \] Bước 4: Tính \(a^b\) và làm tròn kết quả \[ a^b = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} \approx 0.03125 \] Làm tròn đến hàng phần trăm: \[ 0.03125 \approx 0.03 \] Vậy \(a^b\) bằng 0.03. Câu 3: Để tìm phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d$ và điểm $A$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điểm thuộc đường thẳng $d$: - Đường thẳng $d$ có phương trình tham số: \[ \frac{x-2}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{4} \] - Gọi $t$ là tham số, ta có: \[ x = 2 + 2t, \quad y = -t, \quad z = 4t \] - Lấy $t = 0$, ta tìm được điểm $M(2, 0, 0)$ thuộc đường thẳng $d$. 2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$: - Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u_d} = (2, -1, 4)$. 3. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: - Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z+1}{4} \] - Gọi $s$ là tham số, ta có: \[ x = 1 + 2s, \quad y = 2 - s, \quad z = -1 + 4s \] - Lấy $s = 0$, ta tìm được điểm $N(1, 2, -1)$ thuộc đường thẳng $\Delta$. 4. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: - Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u_\Delta} = (2, -1, 4)$. 5. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$: - Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d$ và điểm $A$, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ sẽ vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$. - Ta chọn điểm $A$ là điểm $(0, 0, 0)$ (có thể chọn bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng). - Vectơ $\overrightarrow{MA} = (-2, 0, 0)$. 6. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = \vec{u_d} \times \overrightarrow{MA}$. - Tính tích vector: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 4 \\ -2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 - 0) - \vec{j}(0 - (-8)) + \vec{k}(0 - 2) = (0, 8, -2) \] 7. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$: - Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng: $ax + by + cz + d = 0$. - Với vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (0, 8, -2)$, ta có phương trình mặt phẳng: \[ 0x + 8y - 2z + d = 0 \] - Thay điểm $M(2, 0, 0)$ vào phương trình mặt phẳng để tìm $d$: \[ 0 \cdot 2 + 8 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + d = 0 \implies d = 0 \] - Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là: \[ 8y - 2z = 0 \] 8. Tính giá trị của $a + b + c$: - Từ phương trình mặt phẳng $(P)$: $0x + 8y - 2z = 0$, ta có $a = 0$, $b = 8$, $c = -2$. - Do đó: \[ a + b + c = 0 + 8 - 2 = 6 \] Đáp số: $a + b + c = 6$. Câu 4: Đầu tiên, ta cần tìm tọa độ của điểm B, nơi viên đạn trúng mục tiêu. Biết rằng viên đạn được bắn ra từ điểm A(1;2;3) với véctơ vận tốc $\overrightarrow{v} = (2;1;5)$ trong 3 giây, ta có thể tính tọa độ của điểm B như sau: Tọa độ của điểm B sẽ là: \[ B = A + 3 \cdot \overrightarrow{v} \] Thay tọa độ của A và véctơ vận tốc vào công thức trên: \[ B = (1;2;3) + 3 \cdot (2;1;5) \] \[ B = (1;2;3) + (6;3;15) \] \[ B = (1+6; 2+3; 3+15) \] \[ B = (7;5;18) \] Nhưng theo đề bài, điểm B có tọa độ (-5;a;b). Do đó, ta có: \[ -5 = 7 \] \[ a = 5 \] \[ b = 18 \] Vậy ta có: \[ a = 5 \] \[ b = 18 \] Tiếp theo, ta cần tính giá trị của biểu thức \( b^a \): \[ b^a = 18^5 \] Để tính \( 18^5 \), ta thực hiện phép nhân: \[ 18^5 = 18 \times 18 \times 18 \times 18 \times 18 \] Sử dụng máy tính để tính giá trị này: \[ 18^5 = 1889568 \] Cuối cùng, ta làm tròn kết quả đến hàng phần chục: \[ 1889568 \approx 1889570 \] Vậy giá trị của biểu thức \( b^a \) là: \[ \boxed{1889570} \]