Giúp mình với!

Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần phân tích hình hộp và các vectơ liên quan. 1. Xác định các vectơ trong hình hộp: - Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh song song và bằng nhau. Do đó, các vectơ tương ứng với các cạnh của hình hộp có thể được biểu diễn như sau: - $\overrightarrow{C^\prime B^\prime}$ là vectơ từ $C^\prime$ đến $B^\prime$. - $\overrightarrow{C^\prime D^\prime}$ là vectơ từ $C^\prime$ đến $D^\prime$. - $\overrightarrow{A^\prime A}$ là vectơ từ $A^\prime$ đến $A$. 2. Tính tổng các vectơ: - Ta cần tính tổng: $\overrightarrow{C^\prime B^\prime} + \overrightarrow{C^\prime D^\prime} + \overrightarrow{A^\prime A}$. 3. Phân tích hình học: - Trong hình hộp, các vectơ $\overrightarrow{C^\prime B^\prime}$, $\overrightarrow{C^\prime D^\prime}$ và $\overrightarrow{A^\prime A}$ là các vectơ song song với các cạnh của hình hộp. - Do tính chất của hình hộp, ta có: \[ \overrightarrow{C^\prime B^\prime} = \overrightarrow{CD}, \quad \overrightarrow{C^\prime D^\prime} = \overrightarrow{CB}, \quad \overrightarrow{A^\prime A} = \overrightarrow{AA^\prime} \] - Tổng của ba vectơ này là: \[ \overrightarrow{C^\prime B^\prime} + \overrightarrow{C^\prime D^\prime} + \overrightarrow{A^\prime A} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AA^\prime} \] 4. Tính tổng vectơ: - Xét tổng của các vectơ: \[ \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{0} \] - Điều này là do trong hình hộp, tổng của các vectơ đi qua các đỉnh và trở về điểm ban đầu sẽ bằng vectơ không. 5. Kết luận: - Độ dài của vectơ tổng là $0$, do đó: \[ \left|\overrightarrow{C^\prime B^\prime} + \overrightarrow{C^\prime D^\prime} + \overrightarrow{A^\prime A}\right| = 0 \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{C^\prime B^\prime} + \overrightarrow{C^\prime D^\prime} + \overrightarrow{A^\prime A}$ là $0$. Câu 2: Để xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{A^\prime B}\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tọa độ các điểm. Giả sử hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho: - \(A(0, 0, 0)\), - \(B(a, 0, 0)\), - \(C(a, a, 0)\), - \(D(0, a, 0)\), - \(A'(0, 0, a)\), - \(B'(a, 0, a)\), - \(C'(a, a, a)\), - \(D'(0, a, a)\). Bước 2: Tìm tọa độ các điểm M và N. - \(M\) là trung điểm của \(A'D'\), nên tọa độ của \(M\) là: \[ M\left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + a}{2}, \frac{a + a}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}, a\right). \] - \(N\) là trung điểm của \(C'D'\), nên tọa độ của \(N\) là: \[ N\left(\frac{a + 0}{2}, \frac{a + a}{2}, \frac{a + a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, a, a\right). \] Bước 3: Tính tọa độ các vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{A^\prime B}\). - Vectơ \(\overrightarrow{MN}\) có tọa độ: \[ \overrightarrow{MN} = \left(\frac{a}{2} - 0, a - \frac{a}{2}, a - a\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right). \] - Vectơ \(\overrightarrow{A^\prime B}\) có tọa độ: \[ \overrightarrow{A^\prime B} = (a - 0, 0 - 0, 0 - a) = (a, 0, -a). \] Bước 4: Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{A^\prime B}\). Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{A^\prime B} = \frac{a}{2} \cdot a + \frac{a}{2} \cdot 0 + 0 \cdot (-a) = \frac{a^2}{2}. \] Bước 5: Tính độ dài của các vectơ. - Độ dài của \(\overrightarrow{MN}\): \[ |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}. \] - Độ dài của \(\overrightarrow{A^\prime B}\): \[ |\overrightarrow{A^\prime B}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. \] Bước 6: Tính góc giữa hai vectơ. Góc \(\theta\) giữa hai vectơ được xác định bởi công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{A^\prime B}}{|\overrightarrow{MN}| \cdot |\overrightarrow{A^\prime B}|} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{a^2} = \frac{1}{2}. \] Do đó, góc giữa hai vectơ là \(\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ\). Vậy, góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{A^\prime B}\) là \(60^\circ\). Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{CB'}\). Bước 1: Xác định tọa độ các điểm Giả sử hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\) và tọa độ các điểm như sau: - \(A(0, 0, 0)\) - \(B(a, 0, 0)\) - \(C(a, a, 0)\) - \(D(0, a, 0)\) - \(A'(0, 0, a)\) - \(B'(a, 0, a)\) - \(C'(a, a, a)\) - \(D'(0, a, a)\) Bước 2: Tìm tọa độ các điểm M và N - \(M\) là trung điểm của \(A'D'\), nên tọa độ của \(M\) là: \[ M\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}, a\right) \] - \(N\) là trung điểm của \(C'D'\), nên tọa độ của \(N\) là: \[ N\left(\frac{a+0}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{a+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, a, a\right) \] Bước 3: Tính vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{CB'}\) - Vectơ \(\overrightarrow{MN}\): \[ \overrightarrow{MN} = \left(\frac{a}{2} - 0, a - \frac{a}{2}, a - a\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \] - Vectơ \(\overrightarrow{CB'}\): \[ \overrightarrow{CB'} = (a, 0, a) - (a, a, 0) = (0, -a, a) \] Bước 4: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{CB'}\) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{CB'}\) là: \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{CB'} = \left(\frac{a}{2}\right) \cdot 0 + \left(\frac{a}{2}\right) \cdot (-a) + 0 \cdot a = 0 - \frac{a^2}{2} + 0 = -\frac{a^2}{2} \] Bước 5: Kết luận Từ đó, ta có: \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{CB'} = -\frac{a^2}{2} \] Do đó, giá trị của \(n\) là \(-0.5\). Câu 4: Để tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ vận tốc, ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông. Giả sử: - Vectơ vận tốc của máy bay theo hướng bắc là \( \overrightarrow{AB} \) với độ dài \( 200 \, \text{km/h} \). - Vectơ vận tốc của gió theo hướng đông là \( \overrightarrow{BC} \) với độ dài \( 60 \, \text{km/h} \). Vectơ tổng \( \overrightarrow{AC} \) là cạnh huyền của tam giác vuông \( \triangle ABC \). Theo định lý Pythagore, ta có: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{200^2 + 60^2} \] Tính toán: \[ AC = \sqrt{200^2 + 60^2} = \sqrt{40000 + 3600} = \sqrt{43600} \] Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: \[ AC \approx 209 \, \text{km/h} \] Vậy, độ dài vectơ tổng của hai vectơ là \( 209 \, \text{km/h} \). Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần xác định trọng lượng của chiếc đèn tròn dựa trên các lực căng trong các sợi dây. Các lực căng này đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn bằng nhau. Bước 1: Phân tích lực Vì các lực căng $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$ đôi một vuông góc với nhau, ta có thể coi chúng như các thành phần của một hệ tọa độ không gian vuông góc. Do đó, tổng hợp của ba lực này sẽ là một lực duy nhất hướng thẳng đứng xuống dưới, cân bằng với trọng lượng của chiếc đèn. Bước 2: Tính tổng hợp lực Vì các lực căng có độ lớn bằng nhau và đôi một vuông góc, ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong không gian ba chiều để tính tổng hợp của ba lực này. Độ lớn của lực tổng hợp $\overrightarrow{F}$ là: \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + |\overrightarrow{F_3}|^2} \] Thay các giá trị đã cho vào, ta có: \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{10^2 + 10^2 + 10^2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \] Bước 3: Tính trọng lượng của chiếc đèn Trọng lượng của chiếc đèn chính là độ lớn của lực tổng hợp này, vì lực tổng hợp này cân bằng với trọng lượng của đèn. Do đó, trọng lượng của chiếc đèn là $10\sqrt{3}$ Newton. Bước 4: Làm tròn kết quả Làm tròn kết quả đến hàng phần chục của Newton: \[ 10\sqrt{3} \approx 17.32 \] Làm tròn đến hàng phần chục, ta có trọng lượng của chiếc đèn là khoảng 17.3 Newton. Vậy, trọng lượng của chiếc đèn tròn là 17.3 Newton. Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần tính trọng lượng của chiếc xe ô tô dựa vào các lực căng và trọng lượng của khung sắt. Bước 1: Phân tích lực Các lực căng \(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}, \overrightarrow{F_4}\) đều có cường độ 2000 N và tạo với mặt phẳng \((ABCD)\) một góc \(60^\circ\). Bước 2: Tính lực căng theo phương thẳng đứng Do các lực căng tạo với mặt phẳng \((ABCD)\) một góc \(60^\circ\), nên thành phần lực theo phương thẳng đứng của mỗi lực căng là: \[ F_{\text{vertical}} = F \cdot \cos(60^\circ) = 2000 \cdot \frac{1}{2} = 1000 \, \text{N} \] Bước 3: Tổng hợp lực căng theo phương thẳng đứng Tổng lực căng theo phương thẳng đứng từ 4 dây cáp là: \[ F_{\text{total\_vertical}} = 4 \cdot 1000 = 4000 \, \text{N} \] Bước 4: Tính trọng lượng của xe ô tô Trọng lượng tổng cộng của khung sắt và xe ô tô phải bằng tổng lực căng theo phương thẳng đứng. Do đó, ta có: \[ W_{\text{khung}} + W_{\text{xe}} = F_{\text{total\_vertical}} \] Biết rằng trọng lượng của khung sắt là 3000 N, ta có: \[ 3000 + W_{\text{xe}} = 4000 \] Giải phương trình trên, ta tìm được: \[ W_{\text{xe}} = 4000 - 3000 = 1000 \, \text{N} \] Kết luận Trọng lượng của chiếc xe ô tô là 1000 N.