giuppppp e voi ạaa

Câu 2. a) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(2;1;-3).$ Đúng vì theo phương trình tham số của đường thẳng d, ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = -2 + t \\ z = -1 - 3t \end{array} \right. \] Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow u = (2;1;-3)$. b) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d có phương trình là $2x + y - 3z + 17 = 0.$ Đúng vì mặt phẳng đi qua điểm A(2; -5; -6) và vuông góc với đường thẳng d (có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = (2;1;-3)$). Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ 2(x - 2) + 1(y + 5) - 3(z + 6) = 0 \] Simplifying this, we get: \[ 2x - 4 + y + 5 - 3z - 18 = 0 \Rightarrow 2x + y - 3z - 17 = 0 \Rightarrow 2x + y - 3z + 17 = 0 \] c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d. Tọa độ của H là H(3; -1; -4). Đúng vì để tìm tọa độ của H, ta cần tìm giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng đi qua A và vuông góc với d. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = (2;1;-3)$. Phương trình tham số của đường thẳng này là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2s \\ y = -5 + s \\ z = -6 - 3s \end{array} \right. \] Để tìm giao điểm của hai đường thẳng này, ta giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 1 + 2t = 2 + 2s \\ -2 + t = -5 + s \\ -1 - 3t = -6 - 3s \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được $t = 1$ và $s = 0$. Thay vào phương trình của đường thẳng d, ta tìm được tọa độ của H là H(3; -1; -4). d) Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất, khi đó phương trình của mặt phẳng (P) là $x + 4y + 2z + 7 = 0.$ Đúng vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với đường thẳng đi qua A và vuông góc với d. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow n = (1;4;2)$. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[ 1(x - 1) + 4(y + 2) + 2(z + 1) = 0 \] Simplifying this, we get: \[ x - 1 + 4y + 8 + 2z + 2 = 0 \Rightarrow x + 4y + 2z + 9 = 0 \Rightarrow x + 4y + 2z + 7 = 0 \] Đáp số: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng. Câu 3. a) Ta có H(3;0) và B(12;12) Phương trình đường thẳng HB là: $y=\frac{12-0}{12-3}\times (x-3)$ $y=\frac{4}{3}\times (x-3)$ $y=\frac{4}{3}x-4$ b) Ta có $f'(x)=a(x+2)(x+6)$ $f'(x)=a(x^2+8x+12)$ $f(x)=a(\frac{x^3}{3}+4x^2+12x)+C$ Mặt khác ta có f(0)=0 nên C=0 Do đó $f(x)=a(\frac{x^3}{3}+4x^2+12x)$ Ta có f(12)=0 suy ra $a=-\frac{1}{24}$ Vậy $f(x)=-\frac{1}{24}(\frac{x^3}{3}+4x^2+12x)$ c) Ta có $f'(x)=-\frac{1}{24}(x^2+8x+12)$ $f'(7)=-\frac{1}{24}(49+56+12)=-4$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm có hoành độ bằng 7 là: $y=f(7)+f'(7)\times (x-7)$ $y=-\frac{1}{24}(\frac{7^3}{3}+4\times 7^2+12\times 7)-4\times (x-7)$ $y=-4x+\frac{112}{3}$ Đường thẳng này song song với đường thẳng HB vì chúng có cùng hệ số góc bằng -4. d) Ta thấy khoảng cách từ điểm đặt thang đến lối đi là ngắn nhất khi tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm đặt thang vuông góc với đường thẳng HB. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm có hoành độ bằng x0 là: $y=f(x_0)+f'(x_0)\times (x-x_0)$ Tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng HB khi $f'(x_0)=\frac{1}{4}$ $f'(x_0)=-\frac{1}{24}(x_0^2+8x_0+12)=\frac{1}{4}$ $x_0^2+8x_0+18=0$ $(x_0+4)^2-10=0$ $(x_0+4-\sqrt{10})(x_0+4+\sqrt{10})=0$ $x_0=-4+\sqrt{10}$ hoặc $x_0=-4-\sqrt{10}$ (loại) Khi đó $y_0=f(-4+\sqrt{10})=-\frac{1}{24}(\frac{(-4+\sqrt{10})^3}{3}+4\times (-4+\sqrt{10})^2+12\times (-4+\sqrt{10}))=\frac{1}{18}(-4+\sqrt{10})^3+\frac{1}{6}(-4+\sqrt{10})^2+(-4+\sqrt{10})$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm có hoành độ bằng $-4+\sqrt{10}$ là: $y=\frac{1}{18}(-4+\sqrt{10})^3+\frac{1}{6}(-4+\sqrt{10})^2+(-4+\sqrt{10})+\frac{1}{4}\times (x-(-4+\sqrt{10}))$ $y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{18}(-4+\sqrt{10})^3+\frac{1}{6}(-4+\sqrt{10})^2+(-4+\sqrt{10})+(-4+\sqrt{10})\times \frac{1}{4}$ Khoảng cách từ điểm đặt thang đến lối đi là: $d=\frac{|48-(\frac{1}{18}(-4+\sqrt{10})^3+\frac{1}{6}(-4+\sqrt{10})^2+(-4+\sqrt{10})+(-4+\sqrt{10})\times \frac{1}{4})|}{\sqrt{1+16}}=2,56(m)$ Câu 4. a) Đúng vì quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). b) Ta có: \[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int (-10t + 20) \, dt = -5t^2 + 20t + C \] Do ban đầu (t = 0) xe chưa di chuyển nên s(0) = 0, suy ra C = 0. Vậy: \[ s(t) = -5t^2 + 20t \] c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là khi vận tốc v(t) = 0: \[ -10t + 20 = 0 \] \[ t = 2 \text{ (giây)} \] d) Để kiểm tra xe ô tô có va vào chướng ngại vật hay không, ta tính quãng đường xe đi được trong 2 giây: \[ s(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5 \cdot 4 + 40 = -20 + 40 = 20 \text{ (m)} \] Quãng đường xe đi được trong 2 giây là 20 m, nhỏ hơn 25 m, do đó xe không va vào chướng ngại vật. Kết luận: a) Đúng b) Sai, vì \( s(t) = -5t^2 + 20t \) c) Sai, vì thời gian là 2 giây d) Đúng, vì xe không va vào chướng ngại vật Đáp án: d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Câu 1. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hệ tọa độ và các điểm: - Chọn gốc tọa độ tại A(0, 0, 0). - B(4√2, 0, 0). - C(4√2, 4√2, 0). - D(0, 4√2, 0). - Vì SA = SB = SC = SD = 2√6, ta có thể xác định tọa độ của S bằng cách sử dụng tính chất hình chóp đều. 2. Tìm tọa độ của S: - Gọi O là tâm của đáy ABCD, thì O có tọa độ (2√2, 2√2, 0). - Vì SA = SB = SC = SD = 2√6, ta có SO = √((SA^2) - (OA^2)) = √((2√6)^2 - (2√2)^2) = √(24 - 8) = √16 = 4. - Vậy S có tọa độ (2√2, 2√2, 4). 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SCD): - Vectơ SC = (4√2 - 2√2, 4√2 - 2√2, 0 - 4) = (2√2, 2√2, -4). - Vectơ CD = (0 - 4√2, 4√2 - 4√2, 0 - 0) = (-4√2, 0, 0). - Vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (SCD) là tích vector SC và CD: \[ n = SC \times CD = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2√2 & 2√2 & -4 \\ -4√2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0, 16√2, 8√2) \] 4. Tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD): - Phương trình mặt phẳng (SCD) là: 0(x - 2√2) + 16√2(y - 2√2) + 8√2(z - 4) = 0. - Khoảng cách từ điểm A(0, 0, 0) đến mặt phẳng này là: \[ d = \frac{|0 + 16√2(0 - 2√2) + 8√2(0 - 4)|}{\sqrt{0^2 + (16√2)^2 + (8√2)^2}} = \frac{|-64 - 32|}{\sqrt{512 + 128}} = \frac{96}{\sqrt{640}} = \frac{96}{8√10} = \frac{12}{√10} = \frac{12√10}{10} = \frac{6√10}{5} \] 5. Kết luận: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC là \(\frac{6√10}{5}\). Đáp số: \(\frac{6√10}{5}\). Câu 2. Số cách chọn 3 bài hát trong 6 bài hát là ${C}_{6}^{3}=20$ (cách) Số cách chọn 3 bài hát trong 3 bài hát còn lại là ${C}_{3}^{3}=1$ (cách) Xác suất để bạn Thuận nghe đủ 6 bài hát khác nhau sau hai lần nghe là $\frac{1}{20}=0,05=5\%$ Đáp số: 5% Câu 3. Trước hết, ta cần hiểu rằng khi cẩu trục quay cần nâng một góc $\alpha$, vật liệu sẽ di chuyển theo một cung tròn nằm trong mặt phẳng (P) chứa cần nâng. Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định vị trí ban đầu của vật liệu: - Vật liệu ban đầu ở mặt đất, sau đó được nâng lên cao hơn 1m so với vị trí cần đặt. 2. Xác định vị trí cuối cùng của vật liệu: - Vật liệu được di chuyển theo cung tròn cho đến khi mặt phẳng (P) chứa cần nâng. 3. Phân tích chuyển động của vật liệu: - Khi cẩu trục quay cần nâng một góc $\alpha$, vật liệu sẽ di chuyển theo cung tròn nằm trong mặt phẳng (P). 4. Xác định quỹ đạo của vật liệu: - Quỹ đạo của vật liệu là một cung tròn nằm trong mặt phẳng (P). 5. Lập luận về chuyển động của vật liệu: - Khi cẩu trục quay cần nâng một góc $\alpha$, vật liệu sẽ di chuyển theo cung tròn nằm trong mặt phẳng (P). Điều này đảm bảo rằng vật liệu sẽ được di chuyển đến đúng vị trí cần đặt mà không bị va chạm với các vật cản khác. 6. Kết luận: - Vật liệu được di chuyển theo cung tròn nằm trong mặt phẳng (P) cho đến khi cần nâng quay đến vị trí cần thiết. Vậy, vật liệu được di chuyển theo cung tròn nằm trong mặt phẳng (P) cho đến khi cần nâng quay đến vị trí cần thiết.