Câu 2.
a) Phương trình mặt phẳng chứa điểm A và song song với (P) là
- Mặt phẳng (P) có phương trình:
- Mặt phẳng song song với (P) sẽ có cùng vectơ pháp tuyến .
- Mặt phẳng này đi qua điểm A(1, -2, 0), ta thay tọa độ của A vào phương trình mặt phẳng:
Do đó, phương trình mặt phẳng chứa điểm A và song song với (P) là:
b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là
- Mặt phẳng (P) có phương trình:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là .
c) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng
- Khoảng cách từ điểm A(1, -2, 0) đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức:
- Với mặt phẳng (P): , ta có , , , và điểm A(1, -2, 0).
Thay vào công thức:
Nhưng theo đề bài, khoảng cách là , do đó có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc trong quá trình tính toán.
d) Mặt phẳng (P) đi qua điểm B(1, 1, 1).
- Thay tọa độ của điểm B(1, 1, 1) vào phương trình mặt phẳng (P):
Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm B(1, 1, 1).
Câu 3.
a) Xác suất của biến cố với điều kiện A là 0,65.
Giải:
- Biến cố A: Học sinh được chọn là nữ.
- Biến cố B: Học sinh được chọn đạt danh hiệu học sinh giỏi.
- Biến cố : Học sinh được chọn không đạt danh hiệu học sinh giỏi.
Biết rằng tỉ lệ học sinh nữ đạt danh hiệu học sinh giỏi là 35%, vậy xác suất của biến cố B với điều kiện A là:
Do đó, xác suất của biến cố với điều kiện A là:
b) Xác suất của biến cố là
Giải:
- Biến cố A: Học sinh được chọn là nữ.
- Biến cố : Học sinh được chọn là nam.
Biết rằng 70% học sinh là nữ, vậy xác suất của biến cố A là:
Do đó, xác suất của biến cố là:
c) Xác suất của biến cố A với điều kiện là .
Giải:
- Biến cố A: Học sinh được chọn là nữ.
- Biến cố : Học sinh được chọn không đạt danh hiệu học sinh giỏi.
Biết rằng xác suất của biến cố với điều kiện A là 0,65, xác suất của biến cố với điều kiện là:
Xác suất tổng thể của biến cố là:
Xác suất của biến cố A với điều kiện là:
d) Xác suất của biến cố B là 0,49.
Giải:
- Biến cố B: Học sinh được chọn đạt danh hiệu học sinh giỏi.
Xác suất tổng thể của biến cố B là:
Như vậy, xác suất của biến cố B là 0,425, không phải 0,49 như đề bài đã cho.
Đáp số:
a) 0,65
b) 0,30
c)
d) 0,425
Câu 4.
a) Ta thấy hai đường thẳng và không cùng phương vì .
Do đó, hai đường thẳng và chéo nhau.
b) Phương trình tham số của đường thẳng là
c) Mặt phẳng chứa và song song với có vectơ pháp tuyến là và .
Suy ra
Lấy ta được .
Phương trình mặt phẳng là hay
d) Gọi là góc giữa hai đường thẳng và .
Ta có
Câu 1.
Để tính giá trị của tích phân , ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách nó thành hai tích phân riêng biệt.
Theo tính chất của tích phân, ta có:
Ta đã biết:
và
Thay các giá trị này vào công thức trên, ta được:
Vậy giá trị của tích phân là .
Câu 2.
Để tính giá trị của , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số .
Nguyên hàm của là , trong đó là hằng số.
Do đó, .
Bước 2: Xác định hằng số dựa trên điều kiện .
Thay vào , ta có:
Theo đề bài, , nên:
Bước 3: Viết lại biểu thức của với hằng số đã biết.
Bước 4: Tính giá trị của .
Thay vào , ta có:
Vậy giá trị của là 101.
Đáp số: .