ỹyfyg7h8hhg7g7g

Câu 2. a) Phương trình mặt phẳng chứa điểm A và song song với (P) là $2x-3y+z-8=0.$ - Mặt phẳng (P) có phương trình: $2x - 3y + z - 1 = 0$ - Mặt phẳng song song với (P) sẽ có cùng vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2, -3, 1)$. - Mặt phẳng này đi qua điểm A(1, -2, 0), ta thay tọa độ của A vào phương trình mặt phẳng: \[ 2(1) - 3(-2) + 1(0) + D = 0 \] \[ 2 + 6 + D = 0 \] \[ D = -8 \] Do đó, phương trình mặt phẳng chứa điểm A và song song với (P) là: \[ 2x - 3y + z - 8 = 0 \] b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (2, -3, 1).$ - Mặt phẳng (P) có phương trình: $2x - 3y + z - 1 = 0$ - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n} = (2, -3, 1)$. c) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{4\sqrt{14}}{7}.$ - Khoảng cách từ điểm A(1, -2, 0) đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] - Với mặt phẳng (P): $2x - 3y + z - 1 = 0$, ta có $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$, $d = -1$ và điểm A(1, -2, 0). Thay vào công thức: \[ d = \frac{|2(1) - 3(-2) + 1(0) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}} \] \[ d = \frac{|2 + 6 - 1|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} \] \[ d = \frac{|7|}{\sqrt{14}} \] \[ d = \frac{7}{\sqrt{14}} \] \[ d = \frac{7\sqrt{14}}{14} \] \[ d = \frac{\sqrt{14}}{2} \] Nhưng theo đề bài, khoảng cách là $\frac{4\sqrt{14}}{7}$, do đó có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc trong quá trình tính toán. d) Mặt phẳng (P) đi qua điểm B(1, 1, 1). - Thay tọa độ của điểm B(1, 1, 1) vào phương trình mặt phẳng (P): \[ 2(1) - 3(1) + 1(1) - 1 = 0 \] \[ 2 - 3 + 1 - 1 = 0 \] \[ 0 = 0 \] Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm B(1, 1, 1). Câu 3. a) Xác suất của biến cố $\overline B$ với điều kiện A là 0,65. Giải: - Biến cố A: Học sinh được chọn là nữ. - Biến cố B: Học sinh được chọn đạt danh hiệu học sinh giỏi. - Biến cố $\overline B$: Học sinh được chọn không đạt danh hiệu học sinh giỏi. Biết rằng tỉ lệ học sinh nữ đạt danh hiệu học sinh giỏi là 35%, vậy xác suất của biến cố B với điều kiện A là: \[ P(B|A) = 0,35 \] Do đó, xác suất của biến cố $\overline B$ với điều kiện A là: \[ P(\overline B|A) = 1 - P(B|A) = 1 - 0,35 = 0,65 \] b) Xác suất của biến cố $\overline A$ là Giải: - Biến cố A: Học sinh được chọn là nữ. - Biến cố $\overline A$: Học sinh được chọn là nam. Biết rằng 70% học sinh là nữ, vậy xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = 0,70 \] Do đó, xác suất của biến cố $\overline A$ là: \[ P(\overline A) = 1 - P(A) = 1 - 0,70 = 0,30 \] c) Xác suất của biến cố A với điều kiện $\overline B$ là $\frac{91}{100}$. Giải: - Biến cố A: Học sinh được chọn là nữ. - Biến cố $\overline B$: Học sinh được chọn không đạt danh hiệu học sinh giỏi. Biết rằng xác suất của biến cố $\overline B$ với điều kiện A là 0,65, xác suất của biến cố $\overline B$ với điều kiện $\overline A$ là: \[ P(\overline B|\overline A) = 1 - P(B|\overline A) = 1 - 0,60 = 0,40 \] Xác suất tổng thể của biến cố $\overline B$ là: \[ P(\overline B) = P(\overline B|A) \cdot P(A) + P(\overline B|\overline A) \cdot P(\overline A) \] \[ P(\overline B) = 0,65 \cdot 0,70 + 0,40 \cdot 0,30 \] \[ P(\overline B) = 0,455 + 0,12 = 0,575 \] Xác suất của biến cố A với điều kiện $\overline B$ là: \[ P(A|\overline B) = \frac{P(\overline B|A) \cdot P(A)}{P(\overline B)} \] \[ P(A|\overline B) = \frac{0,65 \cdot 0,70}{0,575} \] \[ P(A|\overline B) = \frac{0,455}{0,575} = \frac{91}{100} \] d) Xác suất của biến cố B là 0,49. Giải: - Biến cố B: Học sinh được chọn đạt danh hiệu học sinh giỏi. Xác suất tổng thể của biến cố B là: \[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\overline A) \cdot P(\overline A) \] \[ P(B) = 0,35 \cdot 0,70 + 0,60 \cdot 0,30 \] \[ P(B) = 0,245 + 0,18 = 0,425 \] Như vậy, xác suất của biến cố B là 0,425, không phải 0,49 như đề bài đã cho. Đáp số: a) 0,65 b) 0,30 c) $\frac{91}{100}$ d) 0,425 Câu 4. a) Ta thấy hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ không cùng phương vì $\frac{1}{2}\neq \frac{2}{4}\neq \frac{3}{-1}$. Do đó, hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau. b) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_1$ là $\left\{\begin{array}lx=t\\y=-3+2t.\\z=2+3t\end{array}\right.$ c) Mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta_1$ và song song với $\Delta_2$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a,b,c)$ và $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{u_1},\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{u_2}$. Suy ra $\left\{\begin{array}{l}a+2b+3c=0\\2a+4b-c=0\end{array}\right.$ Lấy $c=1$ ta được $a=-7,b=2$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $-7(x-0)+2(y+3)-1(z-2)=0$ hay $-7x+2y-z+8=0$ d) Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$. Ta có $\cos \alpha=\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|2\times 4+3\times (-1)|}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}\times \sqrt{2^2+4^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$ Câu 1. Để tính giá trị của tích phân $\int^3_2[f(x)-g(x)]dx$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách nó thành hai tích phân riêng biệt. Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^3_2[f(x) - g(x)]dx = \int^3_2 f(x) dx - \int^3_2 g(x) dx \] Ta đã biết: \[ \int^3_2 f(x) dx = 1 \] và \[ \int^3_2 g(x) dx = 4 \] Thay các giá trị này vào công thức trên, ta được: \[ \int^3_2[f(x) - g(x)]dx = 1 - 4 = -3 \] Vậy giá trị của tích phân $\int^3_2[f(x) - g(x)]dx$ là $-3$. Câu 2. Để tính giá trị của $F(e)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{1}{x}$. Nguyên hàm của $\frac{1}{x}$ là $\ln|x| + C$, trong đó $C$ là hằng số. Do đó, $F(x) = \ln|x| + C$. Bước 2: Xác định hằng số $C$ dựa trên điều kiện $F(1) = 100$. Thay $x = 1$ vào $F(x)$, ta có: \[ F(1) = \ln|1| + C = 0 + C = C \] Theo đề bài, $F(1) = 100$, nên: \[ C = 100 \] Bước 3: Viết lại biểu thức của $F(x)$ với hằng số $C$ đã biết. \[ F(x) = \ln|x| + 100 \] Bước 4: Tính giá trị của $F(e)$. Thay $x = e$ vào $F(x)$, ta có: \[ F(e) = \ln|e| + 100 = \ln(e) + 100 = 1 + 100 = 101 \] Vậy giá trị của $F(e)$ là 101. Đáp số: $F(e) = 101$.