Lm hộ mik vs c) Cho phương trình $3x^2-6x+1=0$ có hai nghiệm phân biệt $X_1$ và $x_2.$ Không giải phương,trình tính giá trị của biểu thức: $A=(x_1+1)^2+(5-2x_1-x_2)^2.$,(Mời các Bạn xem fanpage: Toán thầy Dương Sơn; địa chỉ: facebook.com/toanthayduongson)

Question

Accepted Answer

{"userId":5400862,"userName":"Công Nhật"}

Không giải phương trình, ta dùng hệ thức Vi-ét:

x1+x2=63=2x_1 + x_2 = \dfrac{6}{3} = 2x1+x2=36=2
x1x2=13x_1 x_2 = \dfrac{1}{3}x1x2=31

Biểu thức cần tính:

A=(x1+1)2+(5−2x1−x2)2A = (x_1 + 1)^2 + \left(5 - 2x_1 - x_2\right)^2A=(x1+1)2+(5−2x1−x2)2Do x1+x2=2⇒x2=2−x1x_1 + x_2 = 2 \Rightarrow x_2 = 2 - x_1x1+x2=2⇒x2=2−x1, thay vào biểu thức:

A=(x1+1)2+(5−2x1−(2−x1))2=(x1+1)2+(5−2x1−2+x1)2A = (x_1 + 1)^2 + \left(5 - 2x_1 - (2 - x_1)\right)^2 = (x_1 + 1)^2 + (5 - 2x_1 - 2 + x_1)^2A=(x1+1)2+(5−2x1−(2−x1))2=(x1+1)2+(5−2x1−2+x1)2=(x1+1)2+(3−x1)2= (x_1 + 1)^2 + (3 - x_1)^2=(x1+1)2+(3−x1)2Tính tiếp:

(x1+1)2=x12+2x1+1(x_1 + 1)^2 = x_1^2 + 2x_1 + 1(x1+1)2=x12+2x1+1(3−x1)2=9−6x1+x12(3 - x_1)^2 = 9 - 6x_1 + x_1^2(3−x1)2=9−6x1+x12Cộng lại:

A=(x12+2x1+1)+(9−6x1+x12)=2x12−4x1+10A = (x_1^2 + 2x_1 + 1) + (9 - 6x_1 + x_1^2) = 2x_1^2 - 4x_1 + 10A=(x12+2x1+1)+(9−6x1+x12)=2x12−4x1+10Ta cần tính:

A=2x12−4x1+10A = 2x_1^2 - 4x_1 + 10A=2x12−4x1+10Dùng hệ thức x12=(x1+x2)2−2x1x2−2x1x2x_1^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 - 2x_1 x_2x12=(x1+x2)2−2x1x2−2x1x2, hoặc tốt nhất là tìm giá trị biểu thức theo tổng và tích nghiệm.

Thử đưa biểu thức về dạng chứa tổng và tích nghiệm:

A=2x12−4x1+10A = 2x_1^2 - 4x_1 + 10A=2x12−4x1+10Ta tách:

A=2(x12−2x1)+10=2(x12−2x1+1−1)+10=2[(x1−1)2−1]+10=2(x1−1)2+8A = 2(x_1^2 - 2x_1) + 10 = 2(x_1^2 - 2x_1 + 1 - 1) + 10 = 2[(x_1 - 1)^2 - 1] + 10 = 2(x_1 - 1)^2 + 8A=2(x12−2x1)+10=2(x12−2x1+1−1)+10=2[(x1−1)2−1]+10=2(x1−1)2+8Nhưng ta chưa biết x1x_1x1, nên thay hướng khác.

Sử dụng tổng 2 nghiệm x1+x2=2x_1 + x_2 = 2x1+x2=2, tức là x1=2−x2x_1 = 2 - x_2x1=2−x2, thay vào A:

A=(x1+1)2+(5−2x1−x2)2=(x1+1)2+(5−(2x1+x2))2⇒A=(x1+1)2+(5−(2x1+x2))2A = (x_1 + 1)^2 + (5 - 2x_1 - x_2)^2 = (x_1 + 1)^2 + (5 - (2x_1 + x_2))^2 \Rightarrow A = (x_1 + 1)^2 + (5 - (2x_1 + x_2))^2A=(x1+1)2+(5−2x1−x2)2=(x1+1)2+(5−(2x1+x2))2⇒A=(x1+1)2+(5−(2x1+x2))2Dùng Vi-ét: x1+x2=2⇒2x1+x2=2x1+(2−x1)=x1+2x_1 + x_2 = 2 \Rightarrow 2x_1 + x_2 = 2x_1 + (2 - x_1) = x_1 + 2x1+x2=2⇒2x1+x2=2x1+(2−x1)=x1+2

A=(x1+1)2+(5−(x1+2))2=(x1+1)2+(3−x1)2A = (x_1 + 1)^2 + (5 - (x_1 + 2))^2 = (x_1 + 1)^2 + (3 - x_1)^2A=(x1+1)2+(5−(x1+2))2=(x1+1)2+(3−x1)2Như trên đã tính:

A=x12+2x1+1+9−6x1+x12=2x12−4x1+10A = x_1^2 + 2x_1 + 1 + 9 - 6x_1 + x_1^2 = 2x_1^2 - 4x_1 + 10A=x12+2x1+1+9−6x1+x12=2x12−4x1+10Dùng công thức hạ bậc tổng quát:

Ta đã có:

x1+x2=2⇒x1=2−x2x_1 + x_2 = 2 \Rightarrow x_1 = 2 - x_2x1+x2=2⇒x1=2−x2
x1x2=13x_1 x_2 = \dfrac{1}{3}x1x2=31

Tính x12x_1^2x12 từ công thức:

(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2⇒22=x12+x22+2⋅13⇒4=x12+x22+23⇒x12+x22=103(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 \Rightarrow 2^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2 \cdot \dfrac{1}{3} \Rightarrow 4 = x_1^2 + x_2^2 + \dfrac{2}{3} \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = \dfrac{10}{3}(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2⇒22=x12+x22+2⋅31⇒4=x12+x22+32⇒x12+x22=310Gọi S=x1+x2=2S = x_1 + x_2 = 2S=x1+x2=2, P=x1x2=13P = x_1 x_2 = \dfrac{1}{3}P=x1x2=31

Biểu thức:

A=(x1+1)2+(3−x1)2=x12+2x1+1+9−6x1+x12=2x12−4x1+10A = (x_1 + 1)^2 + (3 - x_1)^2 = x_1^2 + 2x_1 + 1 + 9 - 6x_1 + x_1^2 = 2x_1^2 - 4x_1 + 10A=(x1+1)2+(3−x1)2=x12+2x1+1+9−6x1+x12=2x12−4x1+10Suy ra:

A=2x12−4x1+10A = 2x_1^2 - 4x_1 + 10A=2x12−4x1+10Nhưng x1+x2=2⇒x1=2−x2x_1 + x_2 = 2 \Rightarrow x_1 = 2 - x_2x1+x2=2⇒x1=2−x2, thay vào ta có thể tính giá trị biểu thức theo x1+x2x_1 + x_2x1+x2, x1x2x_1 x_2x1x2

Hoặc thay nghiệm bằng công thức nghiệm:

x=−(−6)±(−6)2−4⋅3⋅12⋅3=6±36−126=6±246=6±266=1±63x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{6} = \dfrac{6 \pm \sqrt{24}}{6} = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = 1 \pm \dfrac{\sqrt{6}}{3}x=2⋅3−(−6)±(−6)2−4⋅3⋅1

=66±36−12

=66±24

=66±26

=1±36

Lấy x1=1+63x_1 = 1 + \dfrac{\sqrt{6}}{3}x1=1+36