Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB = BC = CD = 2,AD=4, SA = SB = SC = SD = 6. Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp

Question

Timi · Accepted Answer

Để tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD:
   - Đáy ABCD là hình thang cân với AB = BC = CD = 2 và AD = 4.
   - Ta vẽ đường cao từ B và C hạ xuống đáy AD, giao điểm là E và F. Vì ABCD là hình thang cân nên E và F sẽ là trung điểm của các đoạn thẳng AB và CD.
   - Do đó, AE = ED = 2 và BE = CF = $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.
   - Tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD nằm trên đường thẳng vuông góc với AD đi qua trung điểm của AD (gọi là M). 
   - Ta có OM = $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ và OA = OB = OC = OD = $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{7}$.

2. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp:
   - Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy ABCD đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy.
   - Gọi khoảng cách từ I đến đáy ABCD là h. Ta có:
     - IS = IA = IB = IC = ID = R.
     - IO = h và SO = $\sqrt{6^2 - (\sqrt{7})^2} = \sqrt{29}$.
   - Ta có phương trình:
     $$
     R^2 = h^2 + (\sqrt{7})^2 = (h - \sqrt{29})^2 + 6^2
     $$
   - Giải phương trình này:
     $$
     R^2 = h^2 + 7 = h^2 - 2h\sqrt{29} + 29 + 36
     $$
     $$
     0 = -2h\sqrt{29} + 58
     $$
     $$
     h = \frac{29}{\sqrt{29}} = \sqrt{29}
     $$
   - Thay lại vào phương trình ban đầu:
     $$
     R^2 = (\sqrt{29})^2 + 7 = 29 + 7 = 36
     $$
     $$
     R = 6
     $$

Vậy bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là 6.