Cho đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1;1),B(2;4). xác định giá trị của m để đồ thị của hàm số y =(2m²-m)x +m² +m là đường thẳng(d') song song với (d)

Để xác định giá trị của \( m \) sao cho đồ thị của hàm số \( y = (2m^2 - m)x + m^2 + m \) là đường thẳng \( (d') \) song song với đường thẳng \( (d) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hệ số góc của đường thẳng \( (d) \): - Đường thẳng \( (d) \) đi qua hai điểm \( A(-1; 1) \) và \( B(2; 4) \). - Hệ số góc của đường thẳng \( (d) \) là: \[ a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - 1}{2 - (-1)} = \frac{3}{3} = 1 \] 2. Xác định điều kiện để đường thẳng \( (d') \) song song với đường thẳng \( (d) \): - Để đường thẳng \( (d') \) song song với đường thẳng \( (d) \), hệ số góc của \( (d') \) phải bằng hệ số góc của \( (d) \). - Hệ số góc của đường thẳng \( (d') \) là \( 2m^2 - m \). - Vậy ta có phương trình: \[ 2m^2 - m = 1 \] 3. Giải phương trình \( 2m^2 - m = 1 \): - Viết phương trình dưới dạng: \[ 2m^2 - m - 1 = 0 \] - Ta sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: \[ 2m^2 - m - 1 = (2m + 1)(m - 1) = 0 \] - Từ đây, ta có hai trường hợp: \[ 2m + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad m - 1 = 0 \] \[ m = -\frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad m = 1 \] 4. Kiểm tra điều kiện xác định: - Đối với \( m = -\frac{1}{2} \): \[ y = (2(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}))x + (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) \] \[ y = (2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2})x + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \] \[ y = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})x + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \] \[ y = x - \frac{1}{4} \] Đồ thị này có hệ số góc bằng 1, thỏa mãn điều kiện song song với \( (d) \). - Đối với \( m = 1 \): \[ y = (2(1)^2 - 1)x + (1)^2 + 1 \] \[ y = (2 - 1)x + 1 + 1 \] \[ y = x + 2 \] Đồ thị này cũng có hệ số góc bằng 1, thỏa mãn điều kiện song song với \( (d) \). Vậy giá trị của \( m \) để đồ thị của hàm số \( y = (2m^2 - m)x + m^2 + m \) là đường thẳng \( (d') \) song song với đường thẳng \( (d) \) là: \[ m = -\frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad m = 1 \]