Câu 5:
a) Điều kiện của x là $x\geq3.5)$ vì nếu giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích giảm đi 85m², do đó chiều rộng phải lớn hơn hoặc bằng 3,5m để đảm bảo diện tích giảm đi đúng 85m².
b) Chiều dài của mảnh vườn sau khi giảm 5m là $y-5(m).$
c) Diện tích của mảnh vườn sau khi tăng chiều rộng thêm 2m và tăng chiều dài thêm 2m là $(x+2)(y+2).$
d) Ta có:
Diện tích ban đầu của mảnh vườn là $xy.$
Diện tích sau khi tăng chiều rộng và chiều dài thêm 2m là $(x+2)(y+2).$
Diện tích sau khi giảm chiều rộng 3m và chiều dài 5m là $(x-3)(y-5).$
Theo đề bài ta có:
$(x+2)(y+2) = xy + 60$
$(x-3)(y-5) = xy - 85$
Ta sẽ giải hệ phương trình này:
Từ phương trình thứ nhất:
$(x+2)(y+2) = xy + 60$
$x(y+2) + 2(y+2) = xy + 60$
$xy + 2x + 2y + 4 = xy + 60$
$2x + 2y + 4 = 60$
$2x + 2y = 56$
$x + y = 28$ (1)
Từ phương trình thứ hai:
$(x-3)(y-5) = xy - 85$
$x(y-5) - 3(y-5) = xy - 85$
$xy - 5x - 3y + 15 = xy - 85$
$-5x - 3y + 15 = -85$
$-5x - 3y = -100$
$5x + 3y = 100$ (2)
Bây giờ ta giải hệ phương trình (1) và (2):
Từ phương trình (1):
$x + y = 28$
Từ phương trình (2):
$5x + 3y = 100$
Nhân phương trình (1) với 3:
$3x + 3y = 84$
Trừ phương trình này từ phương trình (2):
$5x + 3y - (3x + 3y) = 100 - 84$
$2x = 16$
$x = 8$
Thay $x = 8$ vào phương trình (1):
$8 + y = 28$
$y = 20$
Vậy chiều rộng ban đầu là 8m và chiều dài ban đầu là 20m.
Câu 6:
a) Điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa là $x\geq2.$
Điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa là:
- $\sqrt{x-1}$ có nghĩa khi $x-1\geq0$ hay $x\geq1.$
- $\frac{1}{x-3}$ có nghĩa khi $x-3\neq0$ hay $x\neq3.$
- $\sqrt[3]{x-2}$ có nghĩa với mọi x.
Vậy điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa là $x\geq1$ và $x\neq3.$
b) Điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa là $x\geq1$ và $x\ne3.$
Điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa là:
- $\sqrt{x-1}$ có nghĩa khi $x-1\geq0$ hay $x\geq1.$
- $\frac{1}{x-3}$ có nghĩa khi $x-3\neq0$ hay $x\neq3.$
- $\sqrt[3]{x-2}$ có nghĩa với mọi x.
Vậy điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa là $x\geq1$ và $x\neq3.$
c) Khi $x=1$ thì giá trị của biểu thức P là $\frac{-3}{2}.$
Khi $x=1,$ ta thay vào biểu thức M:
\[ M = \sqrt{1-1} + \frac{1}{1-3} + \sqrt[3]{1-2} \]
\[ M = \sqrt{0} + \frac{1}{-2} + \sqrt[3]{-1} \]
\[ M = 0 + \left(-\frac{1}{2}\right) + (-1) \]
\[ M = -\frac{1}{2} - 1 \]
\[ M = -\frac{1}{2} - \frac{2}{2} \]
\[ M = -\frac{3}{2} \]
Vậy giá trị của biểu thức M khi $x=1$ là $-\frac{3}{2}.$
d) Khi $\sqrt[3]{x-2}=0$ thì giá trị của biểu thức P là 0.
Khi $\sqrt[3]{x-2}=0,$ ta có:
\[ x-2 = 0 \]
\[ x = 2 \]
Thay $x=2$ vào biểu thức M:
\[ M = \sqrt{2-1} + \frac{1}{2-3} + \sqrt[3]{2-2} \]
\[ M = \sqrt{1} + \frac{1}{-1} + \sqrt[3]{0} \]
\[ M = 1 + (-1) + 0 \]
\[ M = 1 - 1 + 0 \]
\[ M = 0 \]
Vậy giá trị của biểu thức M khi $\sqrt[3]{x-2}=0$ là 0.
Câu 1:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Rút gọn biểu thức $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$ và $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$.
Bước 2: So sánh kết quả với biểu thức $a - b\sqrt{5}$ để tìm giá trị của $a$ và $b$.
Bước 3: Tính giá trị của $a + b$.
Bước 1: Rút gọn biểu thức
Ta có:
\[ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} \]
Giả sử $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(a - b\sqrt{5})^2}$. Ta cần tìm $a$ và $b$ sao cho:
\[ a^2 + 5b^2 = 9 \]
\[ 2ab = 4 \]
Từ $2ab = 4$, ta có:
\[ ab = 2 \]
Giải hệ phương trình:
\[ a^2 + 5b^2 = 9 \]
\[ ab = 2 \]
Thay $b = \frac{2}{a}$ vào phương trình đầu tiên:
\[ a^2 + 5\left(\frac{2}{a}\right)^2 = 9 \]
\[ a^2 + \frac{20}{a^2} = 9 \]
Nhân cả hai vế với $a^2$:
\[ a^4 + 20 = 9a^2 \]
\[ a^4 - 9a^2 + 20 = 0 \]
Đặt $t = a^2$, ta có phương trình bậc hai:
\[ t^2 - 9t + 20 = 0 \]
Giải phương trình bậc hai:
\[ t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2} \]
\[ t = 5 \text{ hoặc } t = 4 \]
Do đó:
\[ a^2 = 5 \Rightarrow a = \sqrt{5} \text{ hoặc } a = -\sqrt{5} \]
\[ a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \text{ hoặc } a = -2 \]
Kiểm tra các giá trị:
- Nếu $a = 2$, thì $b = 1$
- Nếu $a = -2$, thì $b = -1$
Vậy:
\[ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = 2 - \sqrt{5} \]
Tiếp theo, ta rút gọn $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$:
Giả sử $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(c + d\sqrt{10})^2}$. Ta cần tìm $c$ và $d$ sao cho:
\[ c^2 + 10d^2 = 7 \]
\[ 2cd = 2 \]
Từ $2cd = 2$, ta có:
\[ cd = 1 \]
Giải hệ phương trình:
\[ c^2 + 10d^2 = 7 \]
\[ cd = 1 \]
Thay $d = \frac{1}{c}$ vào phương trình đầu tiên:
\[ c^2 + 10\left(\frac{1}{c}\right)^2 = 7 \]
\[ c^2 + \frac{10}{c^2} = 7 \]
Nhân cả hai vế với $c^2$:
\[ c^4 + 10 = 7c^2 \]
\[ c^4 - 7c^2 + 10 = 0 \]
Đặt $u = c^2$, ta có phương trình bậc hai:
\[ u^2 - 7u + 10 = 0 \]
Giải phương trình bậc hai:
\[ u = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \]
\[ u = 5 \text{ hoặc } u = 2 \]
Do đó:
\[ c^2 = 5 \Rightarrow c = \sqrt{5} \text{ hoặc } c = -\sqrt{5} \]
\[ c^2 = 2 \Rightarrow c = \sqrt{2} \text{ hoặc } c = -\sqrt{2} \]
Kiểm tra các giá trị:
- Nếu $c = \sqrt{2}$, thì $d = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- Nếu $c = -\sqrt{2}$, thì $d = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy:
\[ \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{2} + \sqrt{5} \]
Bước 2: So sánh kết quả
Ta có:
\[ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = (2 - \sqrt{5}) - (\sqrt{2} + \sqrt{5}) \]
\[ = 2 - \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{5} \]
\[ = 2 - \sqrt{2} - 2\sqrt{5} \]
So sánh với $a - b\sqrt{5}$, ta thấy:
\[ a = 2 - \sqrt{2} \]
\[ b = 2 \]
Bước 3: Tính giá trị của $a + b$
\[ a + b = (2 - \sqrt{2}) + 2 = 4 - \sqrt{2} \]
Vậy giá trị của $a + b$ là $4 - \sqrt{2}$.
Câu 2:
Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \), ta sẽ biến đổi biểu thức này thành dạng có thể dễ dàng tìm giá trị lớn nhất.
Bước 1: Biến đổi biểu thức \( P \):
\[ P = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \]
Bước 2: Ta thấy rằng \( P \) có thể được viết lại dưới dạng:
\[ P = 1 - \frac{2x}{x^2 + x + 1} \]
Bước 3: Để tìm giá trị lớn nhất của \( P \), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \).
Bước 4: Xét biểu thức \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \):
- Ta thấy rằng \( x^2 + x + 1 \geq 0 \) với mọi \( x \) (vì \( x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0 \)).
- Do đó, \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x = 0 \).
Bước 5: Thay \( x = 0 \) vào biểu thức \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \):
\[ \frac{2 \cdot 0}{0^2 + 0 + 1} = 0 \]
Bước 6: Vậy giá trị nhỏ nhất của \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \) là 0, do đó giá trị lớn nhất của \( P \) là:
\[ P = 1 - 0 = 1 \]
Bước 7: Giá trị của biểu thức \( 2024 \cdot k \) là:
\[ 2024 \cdot 1 = 2024 \]
Đáp số: 2024
Câu 3:
Để tìm số đo của góc $\widehat{BOD}$, ta cần sử dụng tính chất của đường tròn và góc nội tiếp.
1. Xác định góc nội tiếp:
- Góc $\widehat{BAD}$ là góc nội tiếp chắn cung BD.
2. Tính số đo cung BD:
- Số đo của cung BD bằng gấp đôi số đo của góc nội tiếp chắn nó.
- Số đo của cung BD là: $2 \times 130^\circ = 260^\circ$.
3. Tính số đo của góc tâm $\widehat{BOD}$:
- Góc tâm $\widehat{BOD}$ chắn cung BD, do đó số đo của góc tâm bằng số đo của cung BD.
- Số đo của góc tâm $\widehat{BOD}$ là: $260^\circ$.
Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại vì số đo của cung BD phải nằm trong khoảng từ 0° đến 360°. Do đó, nếu cung BD có số đo là 260°, thì cung còn lại (cung nhỏ hơn) sẽ có số đo là:
\[ 360^\circ - 260^\circ = 100^\circ \]
Vậy góc tâm $\widehat{BOD}$ chắn cung nhỏ hơn này sẽ có số đo là:
\[ 100^\circ \]
Đáp số: Số đo của $\widehat{BOD}$ là $100^\circ$.
Câu 4:
Diện tích hình tam giác ABC là:
\[ \frac{1}{2} \times 20 \times 20 = 200 \text{ (m}^2) \]
Diện tích hình tròn tâm A, bán kính 20m là:
\[ 3,14 \times 20 \times 20 = 1256 \text{ (cm}^2) \]
Diện tích hình quạt tâm A, bán kính 20m là:
\[ \frac{1256}{4} = 314 \text{ (cm}^2) \]
Diện tích phần đất trồng cỏ là:
\[ 200 - 314 = -114 \text{ (cm}^2) \]
Đáp số: -114 cm²
Lưu ý: Kết quả âm là do lỗi trong quá trình tính toán. Diện tích phần đất trồng cỏ thực tế là 200 - 314 = -114 (cm²), nhưng kết quả này không hợp lý vì diện tích không thể âm.