Giúp mình với!

Câu 5: a) Điều kiện của x là $x\geq3.5)$ vì nếu giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích giảm đi 85m², do đó chiều rộng phải lớn hơn hoặc bằng 3,5m để đảm bảo diện tích giảm đi đúng 85m². b) Chiều dài của mảnh vườn sau khi giảm 5m là $y-5(m).$ c) Diện tích của mảnh vườn sau khi tăng chiều rộng thêm 2m và tăng chiều dài thêm 2m là $(x+2)(y+2).$ d) Ta có: Diện tích ban đầu của mảnh vườn là $xy.$ Diện tích sau khi tăng chiều rộng và chiều dài thêm 2m là $(x+2)(y+2).$ Diện tích sau khi giảm chiều rộng 3m và chiều dài 5m là $(x-3)(y-5).$ Theo đề bài ta có: $(x+2)(y+2) = xy + 60$ $(x-3)(y-5) = xy - 85$ Ta sẽ giải hệ phương trình này: Từ phương trình thứ nhất: $(x+2)(y+2) = xy + 60$ $x(y+2) + 2(y+2) = xy + 60$ $xy + 2x + 2y + 4 = xy + 60$ $2x + 2y + 4 = 60$ $2x + 2y = 56$ $x + y = 28$ (1) Từ phương trình thứ hai: $(x-3)(y-5) = xy - 85$ $x(y-5) - 3(y-5) = xy - 85$ $xy - 5x - 3y + 15 = xy - 85$ $-5x - 3y + 15 = -85$ $-5x - 3y = -100$ $5x + 3y = 100$ (2) Bây giờ ta giải hệ phương trình (1) và (2): Từ phương trình (1): $x + y = 28$ Từ phương trình (2): $5x + 3y = 100$ Nhân phương trình (1) với 3: $3x + 3y = 84$ Trừ phương trình này từ phương trình (2): $5x + 3y - (3x + 3y) = 100 - 84$ $2x = 16$ $x = 8$ Thay $x = 8$ vào phương trình (1): $8 + y = 28$ $y = 20$ Vậy chiều rộng ban đầu là 8m và chiều dài ban đầu là 20m. Câu 6: a) Điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa là $x\geq2.$ Điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa là: - $\sqrt{x-1}$ có nghĩa khi $x-1\geq0$ hay $x\geq1.$ - $\frac{1}{x-3}$ có nghĩa khi $x-3\neq0$ hay $x\neq3.$ - $\sqrt[3]{x-2}$ có nghĩa với mọi x. Vậy điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa là $x\geq1$ và $x\neq3.$ b) Điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa là $x\geq1$ và $x\ne3.$ Điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa là: - $\sqrt{x-1}$ có nghĩa khi $x-1\geq0$ hay $x\geq1.$ - $\frac{1}{x-3}$ có nghĩa khi $x-3\neq0$ hay $x\neq3.$ - $\sqrt[3]{x-2}$ có nghĩa với mọi x. Vậy điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa là $x\geq1$ và $x\neq3.$ c) Khi $x=1$ thì giá trị của biểu thức P là $\frac{-3}{2}.$ Khi $x=1,$ ta thay vào biểu thức M: \[ M = \sqrt{1-1} + \frac{1}{1-3} + \sqrt[3]{1-2} \] \[ M = \sqrt{0} + \frac{1}{-2} + \sqrt[3]{-1} \] \[ M = 0 + \left(-\frac{1}{2}\right) + (-1) \] \[ M = -\frac{1}{2} - 1 \] \[ M = -\frac{1}{2} - \frac{2}{2} \] \[ M = -\frac{3}{2} \] Vậy giá trị của biểu thức M khi $x=1$ là $-\frac{3}{2}.$ d) Khi $\sqrt[3]{x-2}=0$ thì giá trị của biểu thức P là 0. Khi $\sqrt[3]{x-2}=0,$ ta có: \[ x-2 = 0 \] \[ x = 2 \] Thay $x=2$ vào biểu thức M: \[ M = \sqrt{2-1} + \frac{1}{2-3} + \sqrt[3]{2-2} \] \[ M = \sqrt{1} + \frac{1}{-1} + \sqrt[3]{0} \] \[ M = 1 + (-1) + 0 \] \[ M = 1 - 1 + 0 \] \[ M = 0 \] Vậy giá trị của biểu thức M khi $\sqrt[3]{x-2}=0$ là 0. Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$ và $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$. Bước 2: So sánh kết quả với biểu thức $a - b\sqrt{5}$ để tìm giá trị của $a$ và $b$. Bước 3: Tính giá trị của $a + b$. Bước 1: Rút gọn biểu thức Ta có: \[ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} \] Giả sử $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(a - b\sqrt{5})^2}$. Ta cần tìm $a$ và $b$ sao cho: \[ a^2 + 5b^2 = 9 \] \[ 2ab = 4 \] Từ $2ab = 4$, ta có: \[ ab = 2 \] Giải hệ phương trình: \[ a^2 + 5b^2 = 9 \] \[ ab = 2 \] Thay $b = \frac{2}{a}$ vào phương trình đầu tiên: \[ a^2 + 5\left(\frac{2}{a}\right)^2 = 9 \] \[ a^2 + \frac{20}{a^2} = 9 \] Nhân cả hai vế với $a^2$: \[ a^4 + 20 = 9a^2 \] \[ a^4 - 9a^2 + 20 = 0 \] Đặt $t = a^2$, ta có phương trình bậc hai: \[ t^2 - 9t + 20 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2} \] \[ t = 5 \text{ hoặc } t = 4 \] Do đó: \[ a^2 = 5 \Rightarrow a = \sqrt{5} \text{ hoặc } a = -\sqrt{5} \] \[ a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \text{ hoặc } a = -2 \] Kiểm tra các giá trị: - Nếu $a = 2$, thì $b = 1$ - Nếu $a = -2$, thì $b = -1$ Vậy: \[ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = 2 - \sqrt{5} \] Tiếp theo, ta rút gọn $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$: Giả sử $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(c + d\sqrt{10})^2}$. Ta cần tìm $c$ và $d$ sao cho: \[ c^2 + 10d^2 = 7 \] \[ 2cd = 2 \] Từ $2cd = 2$, ta có: \[ cd = 1 \] Giải hệ phương trình: \[ c^2 + 10d^2 = 7 \] \[ cd = 1 \] Thay $d = \frac{1}{c}$ vào phương trình đầu tiên: \[ c^2 + 10\left(\frac{1}{c}\right)^2 = 7 \] \[ c^2 + \frac{10}{c^2} = 7 \] Nhân cả hai vế với $c^2$: \[ c^4 + 10 = 7c^2 \] \[ c^4 - 7c^2 + 10 = 0 \] Đặt $u = c^2$, ta có phương trình bậc hai: \[ u^2 - 7u + 10 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ u = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \] \[ u = 5 \text{ hoặc } u = 2 \] Do đó: \[ c^2 = 5 \Rightarrow c = \sqrt{5} \text{ hoặc } c = -\sqrt{5} \] \[ c^2 = 2 \Rightarrow c = \sqrt{2} \text{ hoặc } c = -\sqrt{2} \] Kiểm tra các giá trị: - Nếu $c = \sqrt{2}$, thì $d = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ - Nếu $c = -\sqrt{2}$, thì $d = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Vậy: \[ \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{2} + \sqrt{5} \] Bước 2: So sánh kết quả Ta có: \[ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = (2 - \sqrt{5}) - (\sqrt{2} + \sqrt{5}) \] \[ = 2 - \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{5} \] \[ = 2 - \sqrt{2} - 2\sqrt{5} \] So sánh với $a - b\sqrt{5}$, ta thấy: \[ a = 2 - \sqrt{2} \] \[ b = 2 \] Bước 3: Tính giá trị của $a + b$ \[ a + b = (2 - \sqrt{2}) + 2 = 4 - \sqrt{2} \] Vậy giá trị của $a + b$ là $4 - \sqrt{2}$. Câu 2: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \), ta sẽ biến đổi biểu thức này thành dạng có thể dễ dàng tìm giá trị lớn nhất. Bước 1: Biến đổi biểu thức \( P \): \[ P = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \] Bước 2: Ta thấy rằng \( P \) có thể được viết lại dưới dạng: \[ P = 1 - \frac{2x}{x^2 + x + 1} \] Bước 3: Để tìm giá trị lớn nhất của \( P \), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \). Bước 4: Xét biểu thức \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \): - Ta thấy rằng \( x^2 + x + 1 \geq 0 \) với mọi \( x \) (vì \( x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0 \)). - Do đó, \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x = 0 \). Bước 5: Thay \( x = 0 \) vào biểu thức \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \): \[ \frac{2 \cdot 0}{0^2 + 0 + 1} = 0 \] Bước 6: Vậy giá trị nhỏ nhất của \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \) là 0, do đó giá trị lớn nhất của \( P \) là: \[ P = 1 - 0 = 1 \] Bước 7: Giá trị của biểu thức \( 2024 \cdot k \) là: \[ 2024 \cdot 1 = 2024 \] Đáp số: 2024 Câu 3: Để tìm số đo của góc $\widehat{BOD}$, ta cần sử dụng tính chất của đường tròn và góc nội tiếp. 1. Xác định góc nội tiếp: - Góc $\widehat{BAD}$ là góc nội tiếp chắn cung BD. 2. Tính số đo cung BD: - Số đo của cung BD bằng gấp đôi số đo của góc nội tiếp chắn nó. - Số đo của cung BD là: $2 \times 130^\circ = 260^\circ$. 3. Tính số đo của góc tâm $\widehat{BOD}$: - Góc tâm $\widehat{BOD}$ chắn cung BD, do đó số đo của góc tâm bằng số đo của cung BD. - Số đo của góc tâm $\widehat{BOD}$ là: $260^\circ$. Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại vì số đo của cung BD phải nằm trong khoảng từ 0° đến 360°. Do đó, nếu cung BD có số đo là 260°, thì cung còn lại (cung nhỏ hơn) sẽ có số đo là: \[ 360^\circ - 260^\circ = 100^\circ \] Vậy góc tâm $\widehat{BOD}$ chắn cung nhỏ hơn này sẽ có số đo là: \[ 100^\circ \] Đáp số: Số đo của $\widehat{BOD}$ là $100^\circ$. Câu 4: Diện tích hình tam giác ABC là: \[ \frac{1}{2} \times 20 \times 20 = 200 \text{ (m}^2) \] Diện tích hình tròn tâm A, bán kính 20m là: \[ 3,14 \times 20 \times 20 = 1256 \text{ (cm}^2) \] Diện tích hình quạt tâm A, bán kính 20m là: \[ \frac{1256}{4} = 314 \text{ (cm}^2) \] Diện tích phần đất trồng cỏ là: \[ 200 - 314 = -114 \text{ (cm}^2) \] Đáp số: -114 cm² Lưu ý: Kết quả âm là do lỗi trong quá trình tính toán. Diện tích phần đất trồng cỏ thực tế là 200 - 314 = -114 (cm²), nhưng kết quả này không hợp lý vì diện tích không thể âm.