Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O và có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Kẻ đường kính AT. 1) Chứng minh rằng tứ giác BHCT l...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. Phần 1: Chứng minh tứ giác BHCT là hình bình hành và IJ // AO 1. Chứng minh BHCT là hình bình hành: - Vì AT là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nên góc \( \angle BAT = 90^\circ \). - Tương tự, \( \angle CAT = 90^\circ \). - Do đó, \( \angle BAT = \angle CAT = 90^\circ \), suy ra \( \angle BAC = 90^\circ \). - Trong tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, nên H là trực tâm của tam giác ABC. - Tứ giác BHCT có hai đường chéo cắt nhau tại H, và H là trung điểm của cả hai đường chéo này (vì H là trực tâm), do đó BHCT là hình bình hành. 2. Chứng minh IJ // AO: - I là trung điểm của AH, J là trung điểm của BC. - Trong hình bình hành BHCT, ta có BH // CT và BH = CT. - Do đó, IJ là đường trung bình của tam giác AHC, nên IJ // AO. Phần 2: Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác FED - Trong tam giác ABC, H là trực tâm, do đó các đường cao AD, BE, CF là các đường phân giác của các góc trong tam giác FED. - Vì H nằm trên các đường phân giác của các góc trong tam giác FED, nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác FED. Phần 3: Chứng minh ba điểm H, P, J thẳng hàng 1. Xét đường thẳng chứa tia phân giác của \( \angle FHB \): - Đường thẳng này cắt AB tại M và AC tại N. - Tia phân giác của \( \angle CAB \) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tại điểm P khác A. 2. Chứng minh H, P, J thẳng hàng: - Do P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN, nên \( \angle AMP = \angle ANP \). - Vì M và N nằm trên các cạnh của tam giác ABC, và P là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN, nên P là điểm đối xứng của H qua đường thẳng IJ. - Do đó, ba điểm H, P, J thẳng hàng. Với các bước lập luận trên, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh các yêu cầu của bài toán.