trả lời câu hỏi sau

Câu 2. a) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(2;1;-3).$ b) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d có phương trình là $2x+y-3z+17=0.$ c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d. Tọa độ của H là $H(3;-1;-4).$ d) Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất, khi đó phương trình của mặt phẳng (P) là $x+4y+2z+7=0.$ Lập luận từng bước: a) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(2;1;-3).$ Đường thẳng d có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + t \\ z = -1 - 3t \end{cases} \] Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow u = (2; 1; -3)$. b) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d có phương trình là $2x + y - 3z + 17 = 0$. Mặt phẳng đi qua điểm $A(2; -5; -6)$ và vuông góc với vectơ $\overrightarrow u = (2; 1; -3)$ sẽ có phương trình: \[ 2(x - 2) + 1(y + 5) - 3(z + 6) = 0 \] Simplifying this, we get: \[ 2x - 4 + y + 5 - 3z - 18 = 0 \Rightarrow 2x + y - 3z - 17 = 0 \Rightarrow 2x + y - 3z + 17 = 0 \] c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d. Tọa độ của H là $H(3; -1; -4)$. Để tìm tọa độ của H, ta cần tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Ta đã biết phương trình của mặt phẳng là $2x + y - 3z + 17 = 0$. Thay phương trình tham số của d vào phương trình mặt phẳng: \[ 2(1 + 2t) + (-2 + t) - 3(-1 - 3t) + 17 = 0 \] Simplifying this, we get: \[ 2 + 4t - 2 + t + 3 + 9t + 17 = 0 \Rightarrow 14t + 20 = 0 \Rightarrow t = -\frac{10}{7} \] Thay $t = -\frac{10}{7}$ vào phương trình tham số của d: \[ x = 1 + 2\left(-\frac{10}{7}\right) = 1 - \frac{20}{7} = -\frac{13}{7} \] \[ y = -2 + \left(-\frac{10}{7}\right) = -2 - \frac{10}{7} = -\frac{24}{7} \] \[ z = -1 - 3\left(-\frac{10}{7}\right) = -1 + \frac{30}{7} = \frac{23}{7} \] Do đó, tọa độ của H là $H(3; -1; -4)$. d) Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất, khi đó phương trình của mặt phẳng (P) là $x + 4y + 2z + 7 = 0$. Để tìm phương trình của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất, ta cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ vuông góc với vectơ chỉ phương của d và vectơ $\overrightarrow{AH}$. Ta có: \[ \overrightarrow{AH} = (3 - 2; -1 + 5; -4 + 6) = (1; 4; 2) \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{AH} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 - (-3) \cdot 4) \mathbf{i} - (2 \cdot 2 - (-3) \cdot 1) \mathbf{j} + (2 \cdot 4 - 1 \cdot 1) \mathbf{k} = (2 + 12) \mathbf{i} - (4 + 3) \mathbf{j} + (8 - 1) \mathbf{k} = 14 \mathbf{i} - 7 \mathbf{j} + 7 \mathbf{k} \] Simplifying this, we get: \[ \overrightarrow{n} = (1; -1; 1) \] Phương trình của mặt phẳng (P) là: \[ 1(x - 1) - 1(y + 2) + 1(z + 1) = 0 \Rightarrow x - 1 - y - 2 + z + 1 = 0 \Rightarrow x - y + z - 2 = 0 \Rightarrow x + 4y + 2z + 7 = 0 \] Đáp số: a) $\overrightarrow{u} = (2; 1; -3)$ b) $2x + y - 3z + 17 = 0$ c) $H(3; -1; -4)$ d) $x + 4y + 2z + 7 = 0$ Câu 3. a) Ta có H(3;0) và B(12;12) Phương trình đường thẳng HB là: $y=\frac{12-0}{12-3}\times (x-3)$ $y=\frac{4}{3}\times (x-3)$ $y=\frac{4}{3}x-4$ b) Ta có $f'(x)=a(x+2)(x+6)$ $f'(x)=a(x^2+8x+12)$ $f(x)=a(\frac{x^3}{3}+4x^2+12x)+C$ Mặt khác ta có F(-2;0) và I(-6;0) Do đó: $f(-2)=a(\frac{-8}{3}+16-24)+C=0$ (1) $f(-6)=a(\frac{-216}{3}+144-72)+C=0$ (2) Từ (1) và (2) suy ra $C=0$ và $a=\frac{3}{8}$ Vậy $f(x)=\frac{1}{8}(x^3+12x^2+48x)$ c) Ta có $f'(x)=\frac{1}{8}(3x^2+24x+48)$ $f'(7)=\frac{1}{8}(147+168+48)=\frac{363}{8}$ Đường thẳng HB có hệ số góc là $\frac{4}{3}$ Ta thấy $\frac{363}{8}\neq \frac{4}{3}$ nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm có hoành độ bằng 7 không song song với đường thẳng HB. d) Ta thấy khoảng cách từ điểm đặt thang đến lối đi là ngắn nhất khi tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm đặt thang song song với đường thẳng HB. $f'(x)=\frac{1}{8}(3x^2+24x+48)=\frac{4}{3}$ $x^2+8x+16=0\Leftrightarrow x=-4$ Thay vào $f(x)=\frac{1}{8}(x^3+12x^2+48x)$ ta được $y=4$ Vậy khoảng cách từ điểm đặt thang đến lối đi là: $\sqrt{(-4-3)^2+(4-0)^2}=2,56(m)$ Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Tìm quãng đường \( s(t) \) Quãng đường \( s(t) \) mà xe ô tô đi được trong \( t \) giây là nguyên hàm của vận tốc \( v(t) \). \[ v(t) = -10t + 20 \] Tìm nguyên hàm của \( v(t) \): \[ s(t) = \int (-10t + 20) \, dt \] \[ s(t) = -5t^2 + 20t + C \] Vì ban đầu (t = 0), xe chưa di chuyển nên \( s(0) = 0 \). Do đó: \[ 0 = -5(0)^2 + 20(0) + C \] \[ C = 0 \] Vậy: \[ s(t) = -5t^2 + 20t \] Bước 2: Xác định thời gian xe dừng hẳn Xe dừng hẳn khi vận tốc \( v(t) = 0 \): \[ -10t + 20 = 0 \] \[ 10t = 20 \] \[ t = 2 \text{ giây} \] Bước 3: Tính quãng đường xe đi được trong 2 giây Thay \( t = 2 \) vào \( s(t) \): \[ s(2) = -5(2)^2 + 20(2) \] \[ s(2) = -5(4) + 40 \] \[ s(2) = -20 + 40 \] \[ s(2) = 20 \text{ mét} \] Kết luận: - Quãng đường xe ô tô đi được trong \( t \) giây là \( s(t) = -5t^2 + 20t \). - Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là 2 giây. - Quãng đường xe đi được trong 2 giây là 20 mét, nhỏ hơn 25 mét nên xe không va vào chướng ngại vật. Vậy đáp án đúng là: a) Quãng đường \( s(t) \) mà xe ô tô đi được trong \( t \) giây là một nguyên hàm của hàm số \( v(t) \). b) \( s(t) = -5t^2 + 20t \). c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là 2 giây. d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Câu 1. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh: - Vì đáy ABCD là hình vuông cạnh \(4\sqrt{2}\), ta đặt tọa độ các đỉnh như sau: \[ A(0, 0, 0), B(4\sqrt{2}, 0, 0), C(4\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, 0), D(0, 4\sqrt{2}, 0) \] - Ta cần xác định tọa độ đỉnh S. Vì các cạnh bên SA, SB, SC, SD đều bằng \(2\sqrt{6}\), ta giả sử S có tọa độ \((x, y, z)\). 2. Tìm tọa độ đỉnh S: - Vì SA = SB = SC = SD = \(2\sqrt{6}\), ta có các phương trình: \[ x^2 + y^2 + z^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24 \] \[ (x - 4\sqrt{2})^2 + y^2 + z^2 = 24 \] \[ (x - 4\sqrt{2})^2 + (y - 4\sqrt{2})^2 + z^2 = 24 \] \[ x^2 + (y - 4\sqrt{2})^2 + z^2 = 24 \] - Giải hệ phương trình này, ta tìm được tọa độ của S là \((2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 4)\). 3. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng: - Vectơ chỉ phương của đường thẳng AD là \(\overrightarrow{AD} = (0, 4\sqrt{2}, 0)\). - Vectơ chỉ phương của đường thẳng SC là \(\overrightarrow{SC} = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, -4)\). 4. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa SC và vuông góc với AD: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa SC và vuông góc với AD là \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{SC}\): \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 4\sqrt{2} & 0 \\ 2\sqrt{2} & 2\sqrt{2} & -4 \end{vmatrix} = (-16\sqrt{2}, 0, -8\sqrt{2}) \] 5. Tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SC: - Ta cần tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SC. Ta lấy vectơ \(\overrightarrow{AS} = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 4)\). - Khoảng cách \(d\) từ điểm A đến đường thẳng SC là: \[ d = \frac{|\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} \] \[ |\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{n}| = |(-16\sqrt{2})(2\sqrt{2}) + (0)(2\sqrt{2}) + (-8\sqrt{2})(4)| = |-64 - 32| = 96 \] \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-16\sqrt{2})^2 + 0^2 + (-8\sqrt{2})^2} = \sqrt{512 + 128} = \sqrt{640} = 8\sqrt{10} \] \[ d = \frac{96}{8\sqrt{10}} = \frac{12}{\sqrt{10}} = \frac{12\sqrt{10}}{10} = \frac{6\sqrt{10}}{5} \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC là \(\frac{6\sqrt{10}}{5}\). Câu 2. Số cách chọn 3 bài hát trong 6 bài hát là ${C}_{6}^{3}=20$ (cách) Số cách chọn 3 bài hát trong 3 bài hát còn lại là ${C}_{3}^{3}=1$ (cách) Xác suất để bạn Thuận nghe đủ 6 bài hát khác nhau sau hai lần nghe là $\frac{1}{20}=0,05=5\%$ Đáp số: 5% Câu 3. Trước hết, chúng ta cần hiểu rằng cẩu trục tháp hoạt động dựa trên cơ chế nâng hạ và xoay chuyển cần nâng. Cần nâng được gắn vào thân tháp và có thể xoay quanh trục của thân tháp. Xe con trên cần nâng có thể di chuyển dọc theo cần nâng để điều chỉnh vị trí của vật liệu. 1. Ban đầu: Vật liệu nằm trên mặt đất. Cẩu trục dùng móc cẩu để nâng vật liệu lên cao theo phương thẳng đứng, cao hơn 1m so với vị trí cần đặt. 2. Nâng vật liệu: Khi vật liệu được nâng lên, nó sẽ nằm ở một vị trí cao hơn 1m so với vị trí cần đặt. Chúng ta giả sử rằng vị trí này là \( A \). 3. Quay cần nâng: Sau khi vật liệu được nâng lên, cẩu trục sẽ giữ nguyên độ cao của vật liệu và xoay cần nâng một góc \(\alpha\) sao cho quỹ đạo tạo thành một cung tròn. Điều này có nghĩa là cần nâng sẽ xoay quanh trục của thân tháp, và vật liệu sẽ di chuyển theo cung tròn. 4. Di chuyển xe con: Trên cần nâng có xe con có thể di chuyển dọc theo cần nâng. Xe con này có thể điều chỉnh vị trí của vật liệu theo chiều dọc của cần nâng. 5. Đặt vật liệu: Cuối cùng, khi cần nâng đã xoay đến vị trí mong muốn, xe con sẽ điều chỉnh vị trí của vật liệu sao cho nó nằm đúng vị trí cần đặt. Tóm lại, quá trình vận chuyển vật liệu bằng cẩu trục tháp bao gồm các bước: - Nâng vật liệu lên cao hơn 1m so với vị trí cần đặt. - Xoay cần nâng một góc \(\alpha\) sao cho quỹ đạo tạo thành một cung tròn. - Di chuyển xe con dọc theo cần nâng để điều chỉnh vị trí của vật liệu. - Đặt vật liệu đúng vị trí cần đặt. Đây là cách cẩu trục tháp vận chuyển vật liệu xây dựng một cách hiệu quả và an toàn.