giúp với ạ

Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điểm chung của hai đường thẳng: - Đường thẳng $d_1$ có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = t + 2 \\ y = t + 2 \\ z = -t \end{cases} \] - Đường thẳng $d_2$ có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = s + 2 \\ y = 2s - 1 \\ z = -3s \end{cases} \] 2. Tìm giao điểm của hai đường thẳng: - Để hai đường thẳng giao nhau, ta cần tìm giá trị của $t$ và $s$ sao cho các tọa độ tương ứng bằng nhau: \[ \begin{cases} t + 2 = s + 2 \\ t + 2 = 2s - 1 \\ -t = -3s \end{cases} \] - Từ phương trình thứ nhất, ta có $t = s$. - Thay vào phương trình thứ hai: \[ t + 2 = 2t - 1 \implies t = 3 \] - Thay $t = 3$ vào phương trình thứ ba để kiểm tra: \[ -3 = -3s \implies s = 1 \] - Vậy hai đường thẳng không giao nhau vì $t \neq s$. Do đó, chúng song song hoặc chéo nhau. 3. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng: - Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: \[ d = \frac{|(\vec{a_1} - \vec{a_2}) \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|} \] - Trong đó: - $\vec{a_1} = (2, 2, 0)$, $\vec{a_2} = (2, -1, 0)$ - $\vec{u_1} = (1, 1, -1)$, $\vec{u_2} = (1, 2, -3)$ 4. Tính tích vector: - $\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = (-1 \cdot 2 - (-1) \cdot 1)\mathbf{i} - ((-1) \cdot 1 - (-1) \cdot 1)\mathbf{j} + (1 \cdot 2 - 1 \cdot 1)\mathbf{k}$ - $= (-2 + 1)\mathbf{i} - (-1 + 1)\mathbf{j} + (2 - 1)\mathbf{k} = -\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + \mathbf{k} = (-1, 0, 1)$ 5. Tính độ dài của tích vector: - $|\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ 6. Tính hiệu vector: - $\vec{a_1} - \vec{a_2} = (2 - 2, 2 - (-1), 0 - 0) = (0, 3, 0)$ 7. Tính tích vô hướng: - $(\vec{a_1} - \vec{a_2}) \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2}) = (0, 3, 0) \cdot (-1, 0, 1) = 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ 8. Tính khoảng cách: - $d = \frac{|0|}{\sqrt{2}} = 0$ Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng là 0, tức là chúng chéo nhau và không giao nhau. Vì vậy, độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất là khoảng cách giữa hai đường thẳng, tức là 0. Đáp số: Độ dài AB = 0. Câu 6: Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng đi qua M và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian: \[ d(O, (M, \overrightarrow{u})) = \frac{\|\overrightarrow{OM} \times \overrightarrow{u}\|}{\|\overrightarrow{u}\|} \] Trong đó, $\overrightarrow{OM} = (1, 2, 4)$ và $\overrightarrow{u} = (2, a, b)$. Tính tích có hướng $\overrightarrow{OM} \times \overrightarrow{u}$: \[ \overrightarrow{OM} \times \overrightarrow{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & a & b \end{vmatrix} = (2b - 4a)\mathbf{i} + (4 - 2b)\mathbf{j} + (a - 4)\mathbf{k} \] Tính độ dài của vectơ này: \[ \|\overrightarrow{OM} \times \overrightarrow{u}\| = \sqrt{(2b - 4a)^2 + (4 - 2b)^2 + (a - 4)^2} \] Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}$: \[ \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{2^2 + a^2 + b^2} = \sqrt{4 + a^2 + b^2} \] Do đó, khoảng cách từ O đến đường thẳng là: \[ d(O, (M, \overrightarrow{u})) = \frac{\sqrt{(2b - 4a)^2 + (4 - 2b)^2 + (a - 4)^2}}{\sqrt{4 + a^2 + b^2}} \] Để khoảng cách này lớn nhất, ta cần tối đa hóa biểu thức ở tử số và tối thiểu hóa biểu thức ở mẫu số. Ta thấy rằng, để khoảng cách lớn nhất, ta cần chọn các giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho biểu thức ở tử số lớn nhất và biểu thức ở mẫu số nhỏ nhất. Ta thử các giá trị nguyên của \(a\) và \(b\) để tối ưu hóa biểu thức trên. Sau khi thử các giá trị, ta nhận thấy rằng khi \(a = -2\) và \(b = 0\), biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Do đó, \(a + b = -2 + 0 = -2\). Đáp số: \(a + b = -2\).