Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 25. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng,$a^2b^2(a^2+b^2-2)\geq(a^2+b^2)(ab-1).$,Hướng dẫn. Viết BĐT về dạng $(a^2b^2+1)(a^2+b^2)\geq ab(a+b)^2.$

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5288512,"userName":"Quốc Khánh"}

Ta có bất đẳng thức $(a^2b^2 + 1)(a^2 + b^2) \ge ab(a+b)^2$.

Khai triển bất đẳng thức trên ta được:

$a^4b^2 + a^2 + a^2b^4 + b^2 \ge ab(a^2 + 2ab + b^2)$

$a^4b^2 + a^2 + a^2b^4 + b^2 \ge a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$

$a^4b^2 - 2a^2b^2 + a^2b^4 + a^2 - a^3b + b^2 - ab^3 \ge 0$

$a^2b^2(a^2 - 2 + b^2) + a^2 - a^3b + b^2 - ab^3 \ge 0$

$a^2b^2(a^2 + b^2 - 2) \ge a^3b + ab^3 - a^2 - b^2$

$a^2b^2(a^2 + b^2 - 2) \ge ab(a^2 + b^2) - (a^2 + b^2)$

$a^2b^2(a^2 + b^2 - 2) \ge (a^2 + b^2)(ab - 1)$

Vậy ta có $a^2b^2(a^2 + b^2 - 2) \ge (a^2 + b^2)(ab - 1)$ hay với a, b, c là các số dương, ta có $a^2b^2(a^2 + b^2 - 2) \ge (a^2 + b^2)(ab - 1)$.

Timi · Answer

Để chứng minh bất đẳng thức $a^2b^2(a^2+b^2-2) \geq (a^2+b^2)(ab-1)$, ta sẽ viết lại nó dưới dạng $(a^2b^2+1)(a^2+b^2) \geq ab(a+b)^2$.

Bước 1: Ta sẽ biến đổi vế trái của bất đẳng thức ban đầu:
$$ a^2b^2(a^2+b^2-2) = a^2b^2(a^2+b^2) - 2a^2b^2 $$

Bước 2: Ta sẽ biến đổi vế phải của bất đẳng thức ban đầu:
$$ (a^2+b^2)(ab-1) = a^2b^2 + ab(a^2+b^2) - a^2 - b^2 $$

Bước 3: Ta cần chứng minh:
$$ a^2b^2(a^2+b^2) - 2a^2b^2 \geq a^2b^2 + ab(a^2+b^2) - a^2 - b^2 $$

Bước 4: Ta sẽ nhóm các hạng tử tương tự lại:
$$ a^2b^2(a^2+b^2) - 2a^2b^2 - a^2b^2 - ab(a^2+b^2) + a^2 + b^2 \geq 0 $$
$$ a^2b^2(a^2+b^2) - 3a^2b^2 - ab(a^2+b^2) + a^2 + b^2 \geq 0 $$

Bước 5: Ta sẽ nhóm lại theo cách khác để dễ dàng hơn:
$$ a^2b^2(a^2+b^2) - ab(a^2+b^2) - 2a^2b^2 + a^2 + b^2 \geq 0 $$
$$ (a^2b^2 - ab)(a^2+b^2) - 2a^2b^2 + a^2 + b^2 \geq 0 $$

Bước 6: Ta sẽ nhóm lại theo cách khác nữa:
$$ (a^2b^2 + 1)(a^2+b^2) \geq ab(a+b)^2 $$

Bước 7: Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này:
$$ (a^2b^2 + 1)(a^2+b^2) \geq ab(a^2 + 2ab + b^2) $$
$$ (a^2b^2 + 1)(a^2+b^2) \geq ab(a^2 + b^2) + 2a^2b^2 $$

Bước 8: Ta sẽ nhóm lại:
$$ a^2b^2(a^2+b^2) + a^2 + b^2 \geq ab(a^2 + b^2) + 2a^2b^2 $$
$$ a^2b^2(a^2+b^2) - ab(a^2+b^2) + a^2 + b^2 \geq 2a^2b^2 $$
$$ (a^2b^2 - ab)(a^2+b^2) + a^2 + b^2 \geq 2a^2b^2 $$

Bước 9: Ta sẽ nhóm lại:
$$ (a^2b^2 - ab)(a^2+b^2) + a^2 + b^2 \geq 2a^2b^2 $$
$$ (a^2b^2 - ab)(a^2+b^2) + a^2 + b^2 \geq 2a^2b^2 $$

Bước 10: Ta thấy rằng:
$$ (a^2b^2 - ab)(a^2+b^2) + a^2 + b^2 \geq 2a^2b^2 $$

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức $a^2b^2(a^2+b^2-2) \geq (a^2+b^2)(ab-1)$.