Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AE và cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G. CMR: a)...

a) Ta có $\widehat{BAE} + \widehat{EAF} = 90^\circ$ (vì Ax vuông góc với AE) $\widehat{EAF} + \widehat{FAD} = 90^\circ$ (vì Ax vuông góc với AE) Suy ra $\widehat{BAE} = \widehat{FAD}$ (cùng bù với $\widehat{EAF}$) Xét tam giác ABE và tam giác ADF: - $\widehat{BAE} = \widehat{FAD}$ (chứng minh trên) - AB = AD (ABCD là hình vuông) - $\widehat{ABE} = \widehat{ADF} = 90^\circ$ Suy ra tam giác ABE và tam giác ADF bằng nhau (g.c.gn) Suy ra AE = AF (hai cạnh tương ứng) Ta có $\widehat{AEF} = \widehat{AFE}$ (vì tam giác AEF cân tại A) Mà $\widehat{AEF} = \widehat{EGF}$ (hai góc so le trong) $\widehat{AFE} = \widehat{GFE}$ (hai góc đối đỉnh) Suy ra $\widehat{EGF} = \widehat{GFE}$ Suy ra tam giác EGF cân tại G Mà GE // AB (gt) Suy ra GE // FK (AB // FK) Suy ra tứ giác EGFK là hình thoi (dấu hiệu nhận biết) b) Ta có $\widehat{FAK} = \widehat{CAK}$ (AI là trung tuyến của tam giác AEF) $\widehat{AKF} = \widehat{AKC}$ (hai góc đối đỉnh) Suy ra tam giác AKF và tam giác AKC đồng dạng (g.g) Suy ra $\frac{AF}{AC} = \frac{FK}{KC}$ (tỷ số đồng dạng) Suy ra AF x KC = AC x FK (cùng nhân cả 2 vế với AC x FK) Suy ra AF x KC = FC x FK (AC = FC) c) Ta có $\widehat{AEC} = \widehat{AFC}$ (hai góc nội so le trong) Suy ra tam giác AEC và tam giác AFC đồng dạng (g.g) Suy ra $\frac{CE}{CF} = \frac{AC}{AF}$ (tỷ số đồng dạng) Suy ra CE x AF = CF x AC (cùng nhân cả 2 vế với CF x AF) Suy ra CE x AF = CF x FC (AC = FC) Suy ra CE = CF (chia cả 2 vế cho AF) Suy ra chu vi tam giác EKC = CE + CK + KE = CF + CK + KE = FK + KE + KE = 2 x FK + KE = 2 x FK + FK = 3 x FK = 3 x FC = 3 x a (FK = FC) Vậy chu vi tam giác EKC không đổi.