giải chi tiết

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính thể tích của khối tròn xoay được tạo ra khi quay một hình phẳng quanh trục \(Ox\) hoặc \(Oy\). Dưới đây là các bước chi tiết để tính thể tích của mỗi trường hợp: A. \( V = \pi \int_{1}^{2} \sqrt{x} \, dx \) 1. Tính tích phân: \[ \int_{1}^{2} \sqrt{x} \, dx = \int_{1}^{2} x^{\frac{1}{2}} \, dx \] Áp dụng công thức tích phân cơ bản: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Ta có: \[ \int_{1}^{2} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{2} = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{2} \] Thay cận: \[ \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{2} = \frac{2}{3} \left( 2^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}} \right) = \frac{2}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) \] 2. Nhân với \(\pi\): \[ V = \pi \cdot \frac{2}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) = \frac{2\pi}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) \] B. \( V = \pi^2 \int_{0}^{\pi} x \, dx \) 1. Tính tích phân: \[ \int_{0}^{\pi} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{\pi^2}{2} \] 2. Nhân với \(\pi^2\): \[ V = \pi^2 \cdot \frac{\pi^2}{2} = \frac{\pi^4}{2} \] C. \( V = \pi^2 \int_{1}^{2} \sqrt{x} \, dx \) 1. Tính tích phân: \[ \int_{1}^{2} \sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{2} = \frac{2}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) \] 2. Nhân với \(\pi^2\): \[ V = \pi^2 \cdot \frac{2}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) = \frac{2\pi^2}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) \] D. \( V = \pi \int_{1}^{2} x \, dx \) 1. Tính tích phân: \[ \int_{1}^{2} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] 2. Nhân với \(\pi\): \[ V = \pi \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\pi}{2} \] Kết luận - A. \( V = \frac{2\pi}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) \) - B. \( V = \frac{\pi^4}{2} \) - C. \( V = \frac{2\pi^2}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) \) - D. \( V = \frac{3\pi}{2} \) Đáp án: - A. \( V = \frac{2\pi}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) \) - B. \( V = \frac{\pi^4}{2} \) - C. \( V = \frac{2\pi^2}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) \) - D. \( V = \frac{3\pi}{2} \) Câu 8. Để tính diện tích S của hình phẳng được tô đậm trong Hình 3, chúng ta cần xem xét các phần diện tích mà hàm số \( f(x) \) tạo ra trên các khoảng đã cho. 1. Diện tích từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \): - Trên đoạn này, hàm số \( f(x) \) tạo ra một phần diện tích dương. Diện tích này được tính bằng tích phân \( \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \). 2. Diện tích từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \): - Trên đoạn này, hàm số \( f(x) \) tạo ra một phần diện tích âm (do hàm số nằm dưới trục hoành). Diện tích này được tính bằng tích phân \( \int_{1}^{2} f(x) \, dx \), nhưng vì nó là diện tích âm, chúng ta sẽ lấy giá trị tuyệt đối của nó để tính diện tích thực tế. Do đó, tổng diện tích S của hình phẳng được tô đậm là: \[ S = \left| \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \right| + \left| \int_{1}^{2} f(x) \, dx \right| \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chúng ta thấy rằng: \[ B.~S=\int^1_{-1}f(x)dx-\int^2_1f(x)dx \] Lựa chọn này đúng vì: - \( \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \) là diện tích dương từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \). - \( -\int_{1}^{2} f(x) \, dx \) là diện tích dương từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \) (do hàm số nằm dưới trục hoành). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~S=\int^1_{-1}f(x)dx-\int^2_1f(x)dx} \] Câu 9. Để tính $\int(2x)^{\sqrt2}dx$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của $(2x)^{\sqrt2}$: Ta sử dụng phương pháp nguyên hàm của hàm lũy thừa. Biểu thức $(2x)^{\sqrt2}$ có dạng $u^n$, trong đó $u = 2x$ và $n = \sqrt{2}$. 2. Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa: Nguyên hàm của $u^n$ là $\frac{u^{n+1}}{n+1} + C$. Áp dụng vào bài toán: \[ \int (2x)^{\sqrt2} dx = \int u^{\sqrt2} dx \] Đặt $u = 2x$, suy ra $du = 2dx$ hoặc $dx = \frac{du}{2}$. 3. Thay đổi biến và tính nguyên hàm: \[ \int (2x)^{\sqrt2} dx = \int u^{\sqrt2} \cdot \frac{du}{2} \] \[ = \frac{1}{2} \int u^{\sqrt2} du \] \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\sqrt2 + 1}}{\sqrt2 + 1} + C \] \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x)^{\sqrt2 + 1}}{\sqrt2 + 1} + C \] 4. Rút gọn kết quả: \[ = \frac{(2x)^{\sqrt2 + 1}}{2(\sqrt2 + 1)} + C \] \[ = \frac{(2x)^{\sqrt2 + 1}}{\sqrt2 + 1} \cdot \frac{1}{2} + C \] \[ = \frac{(2x)^{\sqrt2 + 1}}{\sqrt2 + 1} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~\frac{(2x)^{\sqrt2+1}}{\sqrt2+1}+C.} \] Câu 10. Để tính $\int (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 dx$, ta thực hiện các bước sau: 1. Mở ngoặc và đơn giản hóa biểu thức trong tích phân: \[ (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 = \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} \] Ta biết rằng $\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 1$ và $2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin x$. Do đó: \[ (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 = 1 + \sin x \] 2. Tính tích phân từng phần: \[ \int (1 + \sin x) dx = \int 1 dx + \int \sin x dx \] Tích phân từng phần này là: \[ \int 1 dx = x + C_1 \] \[ \int \sin x dx = -\cos x + C_2 \] 3. Gộp lại kết quả: \[ \int (1 + \sin x) dx = x - \cos x + C \] Trong đó $C = C_1 + C_2$ là hằng số tích phân. Vậy đáp án đúng là: \[ A.~x - \cos x + C \] Câu 11. Để tính $\int(e^x + e^{-2x}) \, dx$, ta sẽ tính từng phần riêng lẻ. 1. Tính $\int e^x \, dx$: \[ \int e^x \, dx = e^x + C_1 \] 2. Tính $\int e^{-2x} \, dx$: \[ \int e^{-2x} \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2x} + C_2 \] Gộp lại ta có: \[ \int(e^x + e^{-2x}) \, dx = e^x - \frac{1}{2} e^{-2x} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~e^x - \frac{1}{2} e^{-2x} + C \] Câu 12. Để tính $\int(\cos\frac{x}{2})^2 dx$, ta sử dụng công thức hạ bậc: \[ (\cos\frac{x}{2})^2 = \frac{1 + \cos x}{2} \] Do đó, ta có: \[ \int (\cos\frac{x}{2})^2 dx = \int \frac{1 + \cos x}{2} dx \] Ta tách tích phân thành hai phần: \[ = \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \cos x dx \] Tính từng phần: \[ = \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot \sin x + C \] Vậy: \[ = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \sin x + C \] Đáp án đúng là: D. $\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \sin x + C$. Câu 13. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính số cách chọn 10 bạn trực nhật từ tổng số 35 bạn (20 nam + 15 nữ) sao cho trong đó có cả nam và nữ. Bước 1: Tính tổng số cách chọn 10 bạn từ 35 bạn. Số cách chọn 10 bạn từ 35 bạn là: \[ C^{10}_{35} \] Bước 2: Tính số cách chọn 10 bạn chỉ từ nhóm nam hoặc chỉ từ nhóm nữ. - Số cách chọn 10 bạn chỉ từ nhóm nam (20 bạn): \[ C^{10}_{20} \] - Số cách chọn 10 bạn chỉ từ nhóm nữ (15 bạn): \[ C^{10}_{15} \] Bước 3: Tính số cách chọn 10 bạn sao cho có cả nam và nữ. Số cách chọn 10 bạn sao cho có cả nam và nữ là: \[ C^{10}_{35} - C^{10}_{20} - C^{10}_{15} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~C^{10}_{35} - C^{10}_{15} - C^{10}_{20} \] Câu 14. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần phân tích đồ thị của đạo hàm $y = f'(x)$ để suy ra các tính chất của hàm số $y = f(x)$. 1. Phân tích đồ thị đạo hàm: - Đồ thị của $y = f'(x)$ cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ $a$, $b$, và $c$. - Trên đoạn $(a, b)$, đồ thị $y = f'(x)$ nằm phía trên trục Ox, tức là $f'(x) > 0$. Điều này cho thấy hàm số $y = f(x)$ là hàm tăng trên khoảng $(a, b)$. - Trên đoạn $(b, c)$, đồ thị $y = f'(x)$ nằm phía dưới trục Ox, tức là $f'(x) < 0$. Điều này cho thấy hàm số $y = f(x)$ là hàm giảm trên khoảng $(b, c)$. 2. Suy ra các giá trị của hàm số: - Vì $y = f(x)$ là hàm tăng trên khoảng $(a, b)$, nên $f(b) > f(a)$. - Vì $y = f(x)$ là hàm giảm trên khoảng $(b, c)$, nên $f(b) > f(c)$. Từ những phân tích trên, ta có: - $f(b) > f(a)$ - $f(b) > f(c)$ Do đó, ta có thể kết luận rằng $f(b)$ là giá trị lớn nhất trong ba giá trị $f(a)$, $f(b)$, và $f(c)$. Tuy nhiên, ta không biết chắc chắn mối quan hệ giữa $f(a)$ và $f(c)$ chỉ dựa vào đồ thị đạo hàm. Nhưng vì $f(b)$ là giá trị lớn nhất, ta có thể loại trừ các lựa chọn không phù hợp. Như vậy, mệnh đề đúng là: \[ D.~f(b) > f(a) > f(c). \] Đáp án: $D.~f(b) > f(a) > f(c)$. Câu 15. Gọi A là sự kiện "chọn được học sinh giỏi môn Tin học", B là sự kiện "chọn được học sinh giỏi môn Tiếng Anh". Ta có: P(A) = 0,3; P(B) = 0,4; P(A ∩ B) = 0,25. Xác suất chọn được học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn trên là: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,3 + 0,4 - 0,25 = 0,45. Đáp án đúng là: B. 0,45. Câu 16. Để tính xác suất của biến cố "Tổng số chấm xuất hiện ở 4 lần gieo lớn hơn 5", ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định không gian mẫu: Mỗi lần gieo xúc xắc có 6 kết quả có thể xảy ra (từ 1 đến 6). Gieo 4 lần liên tiếp, tổng số kết quả có thể xảy ra là: \[ 6^4 = 1296 \] 2. Xác định số trường hợp thuận lợi: Biến cố "Tổng số chấm xuất hiện ở 4 lần gieo lớn hơn 5" bao gồm tất cả các trường hợp trừ trường hợp tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn hoặc bằng 5. - Tổng số chấm xuất hiện bằng 4: Các trường hợp có thể là (1,1,1,1). Số trường hợp là 1. - Tổng số chấm xuất hiện bằng 5: Các trường hợp có thể là (1,1,1,2), (1,1,2,1), (1,2,1,1), (2,1,1,1). Số trường hợp là 4. Tổng số trường hợp không thuận lợi (tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn hoặc bằng 5) là: \[ 1 + 4 = 5 \] Do đó, số trường hợp thuận lợi là: \[ 1296 - 5 = 1291 \] 3. Tính xác suất: Xác suất của biến cố "Tổng số chấm xuất hiện ở 4 lần gieo lớn hơn 5" là: \[ P = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số trường hợp trong không gian mẫu}} = \frac{1291}{1296} \] Vậy xác suất của biến cố "Tổng số chấm xuất hiện ở 4 lần gieo lớn hơn 5" là $\frac{1291}{1296}$.