Giúp mình với! Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB=8~cm,~AC=15~cm.$ Tia phân giác của góc A cắt BC tại D từ D kẻ DE,vuông góc với AC (E thuộc AC),a) Tính BD?,CD?, tính tỉ số BD/CD?,b)chứng minh : tam giác ABC đồng dạng tam giác EDC.Tính DE?

Question

Accepted Answer

a) Ta có tia AD là tia phân giác của góc A nên theo tính chất tia phân giác ta có:
$$
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{15}
$$

Gọi BD = 8k và CD = 15k (với k > 0)

Ta có:
$$
BC = BD + CD = 8k + 15k = 23k
$$

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC:
$$
BC^2 = AB^2 + AC^2
$$
$$
(23k)^2 = 8^2 + 15^2
$$
$$
529k^2 = 64 + 225
$$
$$
529k^2 = 289
$$
$$
k^2 = \frac{289}{529}
$$
$$
k = \frac{17}{23}
$$

Do đó:
$$
BD = 8k = 8 \times \frac{17}{23} = \frac{136}{23} \text{ cm}
$$
$$
CD = 15k = 15 \times \frac{17}{23} = \frac{255}{23} \text{ cm}
$$

Tỉ số:
$$
\frac{BD}{CD} = \frac{\frac{136}{23}}{\frac{255}{23}} = \frac{136}{255} = \frac{8}{15}
$$

b) Để chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC, ta cần kiểm tra các góc tương ứng.

- Góc ADB = góc EDC (góc chung)
- Góc ABD = góc ECD (cùng bù với góc BAC)

Vậy tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC theo trường hợp đồng dạng góc-góc (g-g).

Bây giờ, ta tính DE. Vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC, ta có:
$$
\frac{DE}{AC} = \frac{CD}{BC}
$$
$$
\frac{DE}{15} = \frac{\frac{255}{23}}{23}
$$
$$
\frac{DE}{15} = \frac{255}{529}
$$
$$
DE = 15 \times \frac{255}{529} = \frac{3825}{529} \text{ cm}
$$

Đáp số:
$$
BD = \frac{136}{23} \text{ cm}, \quad CD = \frac{255}{23} \text{ cm}, \quad \frac{BD}{CD} = \frac{8}{15}, \quad DE = \frac{3825}{529} \text{ cm}
$$