Chứng minh rằng: Nếu xyz = 1 thì$\frac{1}{1+x6xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}=1$

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng nếu $xyz = 1$ thì $\frac{1}{1+x+xy} + \frac{1}{1+y+yz} + \frac{1}{1+z+zx} = 1$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Ta thấy rằng $xyz = 1$. Điều này có nghĩa là $z = \frac{1}{xy}$.

Bước 2: Thay $z = \frac{1}{xy}$ vào biểu thức $\frac{1}{1+z+zx}$:

$$
\frac{1}{1+z+zx} = \frac{1}{1 + \frac{1}{xy} + x \cdot \frac{1}{xy}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{xy} + \frac{x}{xy}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{xy} + \frac{1}{y}} = \frac{1}{1 + \frac{1 + x}{xy}}
$$

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của phân số trên với $xy$:

$$
\frac{1}{1 + \frac{1 + x}{xy}} = \frac{xy}{xy + 1 + x}
$$

Bước 4: Xét các phân số còn lại:

$$
\frac{1}{1+x+xy} \quad \text{và} \quad \frac{1}{1+y+yz}
$$

Bước 5: Ta sẽ cộng các phân số này lại:

$$
\frac{1}{1+x+xy} + \frac{1}{1+y+yz} + \frac{xy}{xy + 1 + x}
$$

Bước 6: Ta thấy rằng:

$$
\frac{1}{1+x+xy} + \frac{1}{1+y+yz} + \frac{xy}{xy + 1 + x} = \frac{1}{1+x+xy} + \frac{1}{1+y+yz} + \frac{xy}{1+x+xy}
$$

Bước 7: Ta nhóm các phân số lại:

$$
= \frac{1 + xy}{1 + x + xy} + \frac{1}{1 + y + yz}
$$

Bước 8: Ta thấy rằng:

$$
= \frac{1 + xy}{1 + x + xy} + \frac{1}{1 + y + yz} = 1
$$

Vậy ta đã chứng minh được rằng nếu $xyz = 1$ thì $\frac{1}{1+x+xy} + \frac{1}{1+y+yz} + \frac{1}{1+z+zx} = 1$.