giải giúp tôi bài này Câu 15. (2,5 điểm),Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có $AB

Question

giải giúp tôi bài này Câu 15. (2,5 điểm),Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có $AB<AC,$ kẻ đường phân giác BD của,$\widehat{ABC},~(D\in AC).$ Kẻ DM vuông góc với BC tại M.,a) Chứng minh $\Delta DAB=\Delta DMB.$,b) Chứng minh $AD<DC.$,c) Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt AC tại E. Gọi K là trung,điểm của ME. Gọi I là giao điểm của BD và AM   Chứng minh ba đường thẳng,AK, EI và MD đồng quy.

Accepted Answer

Câu 15.
a) Ta có $\widehat{ABD}=\widehat{MBD}$ (BD là phân giác của $\widehat{ABC})$
$\widehat{DAB}=\widehat{DMB}=90^{\circ}$
$DB=DB$ (cạnh chung)
$\Rightarrow \Delta DAB=\Delta DMB$ (góc - cạnh - góc)
b) Ta có $\widehat{ABD}<\widehat{DBC}$ (vì $AB<AC)$
Mà $\widehat{ABD}=\widehat{MBD}$ (BD là phân giác của $\widehat{ABC})$
$\Rightarrow \widehat{MBD}<\widehat{DBC}$
$\Rightarrow AD<DC$ (góc bên trong càng bé thì cạnh đối diện càng bé)
c) Ta có $\widehat{AMD}=\widehat{AEM}=90^{\circ}$ (AM vuông góc với BC, ME vuông góc với AM)
$\Rightarrow AK$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ME của $\Delta AEM$
$\Rightarrow AK$ là đường cao hạ từ đỉnh A của $\Delta AEM$
$\Rightarrow AK$ vuông góc với ME tại K
Mà $EI\subset ME$
$\Rightarrow AK$ vuông góc với EI tại K
Ta có $\widehat{AKI}=\widehat{DKM}=90^{\circ}$
$\widehat{KAI}=\widehat{KDM}$ (cùng bù với $\widehat{KDA})$
$AK=DK$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \Delta AKI=\Delta DKM$ (cạnh - góc - góc)
$\Rightarrow AI=DM$
Mà $AI=ID$ (chứng minh ở câu a)
$\Rightarrow DM=ID$
$\Rightarrow \Delta DIM$ cân tại D
$\Rightarrow \widehat{DIM}=\widehat{DMI}$
Mà $\widehat{DMI}+\widehat{MDI}=90^{\circ}$ (góc vuông)
$\Rightarrow \widehat{DIM}+\widehat{MDI}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{IDE}=90^{\circ}$
$\Rightarrow EI$ vuông góc với MD tại D
$\Rightarrow$ Ba đường thẳng AK, EI và MD đồng quy tại D.