Giải giùm em vs ạ

Hieu Le

Câu 3.

a) Sai.

Giả sử E, F là các điểm sao cho K(10;4;4) là trung điểm của EF. Nếu EF là đường nóc nhà song song với trục Ox thì $y_E = y_F = 4$ và $z_E = z_F = 4$. Trung điểm K có $y_K = (y_E+y_F)/2 = 4$ và $z_K = (z_E+z_F)/2 = 4$. $x_K = (x_E+x_F)/2 = 10$. Nếu E nằm trên mặt phẳng $x=0$ và F nằm trên mặt phẳng $x=12$ (theo kích thước nhà suy ra từ B(12,20,0)), thì $E=(0,4,4)$, $F=(12,4,4)$. Trung điểm là $(6,4,4) \ne K(10,4,4)$. Nếu E, F nằm trên đường nóc QP với Q(0,20,4), P(12,20,4) như hình vẽ, thì $y_E=y_F=20$, $z_E=z_F=4$. Trung điểm K phải có $y_K=20$, mâu thuẫn với K(10,4,4). Do đó, mệnh đề này sai với các diễn giải hình học thông thường.

b) Đúng.

Điểm O là gốc tọa độ (0,0,0). Mặt sàn là hình chữ nhật OABC nằm trong mặt phẳng Oxy (z=0). Điểm B có tọa độ (12,20,0). Điểm C nằm trên trục Oy và A nằm trên trục Ox. Do OABC là hình chữ nhật nên $\vec{OC} = \vec{AB}$. $C=(0, y_C, 0)$. $A=(x_A, 0, 0)$. $\vec{AB} = (12-x_A, 20-0, 0-0) = (12-x_A, 20, 0)$. $\vec{OC} = (0, y_C, 0)$. Suy ra $12-x_A = 0 \implies x_A=12$ và $y_C = 20$. Vậy $C=(0, 20, 0)$.

c) Đúng.

Điểm K có tọa độ $K(10,4,4)$. Nền nhà là mặt phẳng Oxy (z=0). Đường thẳng vuông góc với nền nhà tại K là đường thẳng có phương trình $x=10, y=4$. Điểm H nằm trên đường thẳng này nên $H=(10, 4, z_H)$. Khoảng cách từ H đến K là $HK = \sqrt{(10-10)^2 + (4-4)^2 + (z_H-4)^2} = |z_H - 4|$. Theo đề bài $HK = 0.5$ m, nên $|z_H - 4| = 0.5$, suy ra $z_H = 4.5$ hoặc $z_H = 3.5$. Khoảng cách từ H đến nền nhà là $z_H$. Mệnh đề nói khoảng cách này là $3.5$ m, ứng với trường hợp $z_H=3.5$. Vậy mệnh đề đúng.

d) Đúng.

Điểm $I(0,3,1)$. Điểm $H(10,4,3.5)$. Đường dây điện thuộc mặt phẳng (OMQC) và (MEFQ).

Mặt phẳng (OMQC) là mặt tường $x=0$. Tọa độ các điểm trên mặt này là O(0,0,0), M(0,0,3), C(0,20,0), Q(0,20,4). Điểm I(0,3,1) nằm trên mặt phẳng này.

Mặt phẳng (MEFQ) là mặt mái. Dựa vào tọa độ các điểm, giả sử mặt mái gồm 2 phần MQN và NPQ với $M(0,0,3), N(12,0,3), Q(0,20,4), P(12,20,4)$. Mặt phẳng (MEFQ) có thể là mặt phẳng chứa MQN, có phương trình $y - 20z + 60 = 0$.

Điểm H(10,4,3.5) không nằm trên mặt phẳng mái MQN vì $4 - 20(3.5) + 60 = -6 \ne 0$.

Đường đi ngắn nhất từ I đến H phải đi trên mặt tường $x=0$ đến một điểm J trên giao tuyến MQ của tường và mái, sau đó đi trên mặt mái MQN đến điểm K là hình chiếu của H lên mặt mái, rồi đi thẳng từ K đến H.

Giao tuyến MQ là đoạn thẳng nối M(0,0,3) và Q(0,20,4).

Điểm K là hình chiếu (hoặc điểm gần nhất) của H trên mặt phẳng mái MQN. Do H nằm trên đường thẳng $x=10, y=4$, ta tìm giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng MQN: $4 - 20z + 60 = 0 \implies 20z=64 \implies z=3.2$. Vậy $K=(10, 4, 3.2)$.

Độ dài đường đi ngắn nhất $a = d_{surface}(I, K) + d(K, H)$.

$d(K, H) = \sqrt{(10-10)^2+(4-4)^2+(3.5-3.2)^2} = \sqrt{0.3^2} = 0.3$.

Để tính $d_{surface}(I, K)$, ta trải phẳng mặt tường $x=0$ và mặt mái MQN.

Trên mặt phẳng trải phẳng, $I=(y=3, z=1)$. Điểm K có hình chiếu lên giao tuyến MQ là $J=(0, 4, 3.2)$, và khoảng cách từ K đến MQ là $x_K=10$. Tọa độ của K trên mặt phẳng trải phẳng được xác định tương đối với I. Tính toán khoảng cách trên mặt phẳng trải phẳng cho $d(I, K') \approx 7.94$ (trong đó $K'$ là tọa độ của K trên mặt phẳng trải phẳng).

Vậy $a \approx 7.94 + 0.3 = 8.24$.

So sánh $a \approx 8.24$ với 8.5: $8.24 < 8.5$.

Vậy mệnh đề đúng.

Câu 4.

a) Sai.

$P_B(t)$ là tổng dân số tăng thêm sau $t$ năm, do đó $P_B(0)=0$ (dân số tăng thêm sau 0 năm là 0). Mệnh đề $P_B(0)=8$ là sai.

Từ đồ thị, tại $t=0$, $P_A'(0)=8$. Đường thẳng $P_B'(t)$ cũng đi qua điểm $(0, 8)$, nên $P_B'(0)=8$.

Ta có $P_B'(t) = a-t$. Suy ra $P_B'(0) = a-0 = a$. Do đó $a=8$.

Mệnh đề " $P_B(0)=8$ và $a=8$ " là sai vì phần đầu sai.

b) Sai.

Tốc độ gia tăng dân số của khu vực A tại $t=4$ là $P_A'(4)$.

$P_A'(t) = -\frac{3}{5}t^2 + 2t + 8$.

$P_A'(4) = -\frac{3}{5}(4^2) + 2(4) + 8 = -\frac{3}{5}(16) + 8 + 8 = -\frac{48}{5} + 16 = -9.6 + 16 = 6.4$.

Đơn vị của $P_A'(t)$ là nghìn người/năm. Vậy $P_A'(4) = 6.4$ nghìn người/năm $= 6400$ người/năm.

Mệnh đề nói tốc độ là 35200 người/năm là sai.

c) Đúng.

Dân số khu vực B tăng thêm từ $t=0$ đến $t=5$ là $P_B(5) = \int_0^5 P_B'(t) dt$.

Với $a=8$, $P_B'(t) = 8-t$.

$P_B(5) = \int_0^5 (8-t) dt = [8t - \frac{t^2}{2}]_0^5 = (8(5) - \frac{5^2}{2}) - (0) = 40 - \frac{25}{2} = 40 - 12.5 = 27.5$.

Đơn vị là nghìn người. Vậy dân số tăng thêm là $27.5$ nghìn người $= 27500$ người.

Mệnh đề đúng.

d) Đúng.

Phần diện tích tô đậm là diện tích giữa hai đường cong $P_A'(t)$ và $P_B'(t)$ từ $t=0$ đến $t=5$.

Diện tích $S = \int_0^5 |P_A'(t) - P_B'(t)| dt$.

Ta tìm giao điểm: $P_A'(t) = P_B'(t) \implies -\frac{3}{5}t^2 + 2t + 8 = 8-t \implies -\frac{3}{5}t^2 + 3t = 0 \implies t(-\frac{3}{5}t + 3) = 0$. Giao điểm tại $t=0$ và $t=5$.

Trong khoảng $(0, 5)$, $P_A'(t) > P_B'(t)$ (ví dụ tại $t=1$, $P_A'(1)=9.4 > P_B'(1)=7$).

Vậy $S = \int_0^5 (P_A'(t) - P_B'(t)) dt = \int_0^5 (-\frac{3}{5}t^2 + 3t) dt$.

$S = [-\frac{3}{5} \frac{t^3}{3} + 3 \frac{t^2}{2}]_0^5 = [-\frac{1}{5}t^3 + \frac{3}{2}t^2]_0^5 = (-\frac{1}{5}(5^3) + \frac{3}{2}(5^2)) - 0 = -\frac{125}{5} + \frac{75}{2} = -25 + 37.5 = 12.5$.

Diện tích này biểu diễn sự chênh lệch dân số tăng thêm giữa khu vực A và B từ $t=0$ đến $t=5$. $S = P_A(5) - P_B(5)$.

Giá trị là $12.5$ nghìn người $= 12500$ người.

Mệnh đề đúng.