Giúpppppppppppppp Câu 5. Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí $A(5;0;0)$ trên một hòn đảo nhỏ trong không giải C.y.,trên mỗi trục được tính bằng km ), được sử dụng làm trạm cứu hộ, cứu nạn trên biển. Tàu du lịch B đang di,chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường được mô tả bởi đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}lx=1+t\y=3-2t.\z=0\end{array} ight.$ Tàu chở hàng C,đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường vận tải được mô tả bởi đường thẳng $d_2:\left\{\begin{array}lx=2-s\y=9+s.\z=0\end{array} ight.$ Do,thời tiết xấu, nên hai tàu B và C gặp sự cố và cần được tiếp cận khẩn cấp. Trạm cứu hộ điều một tàu cứu hộ,xuất phát từ A để lần lượt tiếp cận tàu du lịch B trước, sau đó đến tàu chở hàng C . Xét vị trí tối ưu của tàu,du lịch B dừng lại và tàu chở hàng C dừng lại sao cho tổng quãng đường tàu cứu hộ cần đi $P=AB+BC+CA$,là nhỏ nhất. Khi đó $P_{\min}=\sqrt a(km),$ hãy tính $a+2025?$

Question

Giúpppppppppppppp Câu 5. Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí $A(5;0;0)$ trên một hòn đảo nhỏ trong không giải C.y.,trên mỗi trục được tính bằng km ), được sử dụng làm trạm cứu hộ, cứu nạn trên biển. Tàu du lịch B đang di,chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường được mô tả bởi đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}lx=1+t\y=3-2t.\z=0\end{array}ight.$ Tàu chở hàng C,đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường vận tải được mô tả bởi đường thẳng $d_2:\left\{\begin{array}lx=2-s\y=9+s.\z=0\end{array}ight.$ Do,thời tiết xấu, nên hai tàu B và C gặp sự cố và cần được tiếp cận khẩn cấp. Trạm cứu hộ điều một tàu cứu hộ,xuất phát từ A để lần lượt tiếp cận tàu du lịch B trước, sau đó đến tàu chở hàng C . Xét vị trí tối ưu của tàu,du lịch B dừng lại và tàu chở hàng C dừng lại sao cho tổng quãng đường tàu cứu hộ cần đi $P=AB+BC+CA$,là nhỏ nhất. Khi đó $P_{\min}=\sqrt a(km),$ hãy tính $a+2025?$

Timi · Accepted Answer

Câu 5.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ của điểm B và C:
   - Điểm B nằm trên đường thẳng $ d_1 $:
     $$
     B(1 + t, 3 - 2t, 0)
     $$
   - Điểm C nằm trên đường thẳng $ d_2 $:
     $$
     C(2 - s, 9 + s, 0)
     $$

2. Tính khoảng cách từ A đến B và từ B đến C:
   - Khoảng cách $ AB $:
     $$
     AB = \sqrt{(1 + t - 5)^2 + (3 - 2t - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(t - 4)^2 + (3 - 2t)^2}
     $$
   - Khoảng cách $ BC $:
     $$
     BC = \sqrt{(1 + t - (2 - s))^2 + (3 - 2t - (9 + s))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(t + s - 1)^2 + (-2t - s - 6)^2}
     $$
   - Khoảng cách $ CA $:
     $$
     CA = \sqrt{(2 - s - 5)^2 + (9 + s - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(s + 3)^2 + (9 + s)^2}
     $$

3. Tổng quãng đường $ P $:
   $$
   P = AB + BC + CA
   $$

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ P $:
   Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ P $, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm. Tuy nhiên, việc này khá phức tạp vì $ P $ phụ thuộc vào cả $ t $ và $ s $. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hình học để đơn giản hóa vấn đề.

5. Sử dụng phương pháp hình học:
   - Ta nhận thấy rằng để $ P $ nhỏ nhất, điểm B và C phải nằm trên đường thẳng nối giữa A và một điểm cố định nào đó trên mặt phẳng Oxy.
   - Ta sẽ tìm điểm B và C sao cho $ AB + BC + CA $ nhỏ nhất bằng cách sử dụng phương pháp phản xạ.

6. Phản xạ điểm A qua đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $:
   - Gọi $ A&#x27; $ là điểm phản xạ của A qua đường thẳng $ d_1 $.
   - Gọi $ A&#x27;&#x27; $ là điểm phản xạ của A qua đường thẳng $ d_2 $.

7. Tìm giao điểm của đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $:
   - Đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $ giao nhau tại điểm $ D $:
     $$
     1 + t = 2 - s \quad \text{và} \quad 3 - 2t = 9 + s
     $$
     Giải hệ phương trình:
     $$
     t + s = 1 \quad \text{và} \quad -2t - s = 6
     $$
     Cộng hai phương trình:
     $$
     -t = 7 \implies t = -7
     $$
     Thay $ t = -7 $ vào $ t + s = 1 $:
     $$
     -7 + s = 1 \implies s = 8
     $$
     Vậy điểm giao $ D $ là:
     $$
     D(1 - 7, 3 + 14, 0) = D(-6, 17, 0)
     $$

8. Tính khoảng cách từ A đến D:
   $$
   AD = \sqrt{(5 - (-6))^2 + (0 - 17)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{11^2 + 17^2} = \sqrt{121 + 289} = \sqrt{410}
   $$

9. Kết luận:
   Tổng quãng đường $ P $ nhỏ nhất là $ \sqrt{410} $.

10. Tính $ a + 2025 $:
    $$
    a = 410 \implies a + 2025 = 410 + 2025 = 2435
    $$

Đáp số: $ 2435 $