giải giúp tôi

Câu 1. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{5x - 2} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi \( u = 5x - 2 \). Khi đó, \( du = 5 \, dx \) hoặc \( dx = \frac{1}{5} \, du \). Bước 2: Thay đổi biến số trong tích phân. \[ \int \frac{dx}{5x - 2} = \int \frac{\frac{1}{5} \, du}{u} = \frac{1}{5} \int \frac{du}{u} \] Bước 3: Tính tích phân. \[ \frac{1}{5} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{5} \ln |u| + C \] Bước 4: Quay lại biến số ban đầu. \[ \frac{1}{5} \ln |u| + C = \frac{1}{5} \ln |5x - 2| + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{5x - 2} \) là: \[ \int \frac{dx}{5x - 2} = \frac{1}{5} \ln |5x - 2| + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\int\frac{dx}{5x-2}=\frac{1}{5}\ln|5x-2|+C. \] Câu 2. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( \frac{2}{x^2} \): \[ \int \frac{2}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = -\frac{2}{x} + C_2 \] Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên: \[ \int f(x) \, dx = \int \left( x^2 + \frac{2}{x^2} \right) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Do đó, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \) là: \[ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Câu 3. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sin x + \cos x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \( f(x) \): \[ F(x) = \int (\sin x + \cos x) \, dx \] \[ F(x) = -\cos x + \sin x + C \] 2. Áp dụng điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \) để xác định hằng số \( C \): \[ F\left( \frac{\pi}{2} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) + C \] \[ 2 = -0 + 1 + C \] \[ 2 = 1 + C \] \[ C = 1 \] 3. Thay \( C = 1 \) vào biểu thức của \( F(x) \): \[ F(x) = -\cos x + \sin x + 1 \] Vậy, đáp án đúng là: \[ D.~F(x) = -\cos x + \sin x + 1 \] Câu 4. Để xác định hàm số \( F(x) = \frac{x^2}{3} + e^2 \) là một nguyên hàm của hàm số nào, chúng ta cần tính đạo hàm của \( F(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \left( \frac{x^2}{3} + e^2 \right)' \] Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm: \[ F'(x) = \left( \frac{x^2}{3} \right)' + (e^2)' \] \[ F'(x) = \frac{2x}{3} + 0 \] \[ F'(x) = \frac{2x}{3} \] Bước 3: So sánh đạo hàm \( F'(x) \) với các hàm số đã cho: - \( A.~f(x) = x^2 + e^2 \) - \( B.~f(x) = 3x^2 + e^2 \) - \( C.~f(x) = \frac{x^2}{3} + e^2 \) - \( D.~f(x) = \frac{x^2}{12} + e \) Chúng ta thấy rằng đạo hàm \( F'(x) = \frac{2x}{3} \) không trùng khớp với bất kỳ hàm số nào trong các lựa chọn trên. Do đó, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các lựa chọn không chính xác. Tuy nhiên, nếu chúng ta giả sử rằng có một lỗi trong đề bài và cần tìm một hàm số có đạo hàm là \( \frac{2x}{3} \), thì hàm số \( f(x) = \frac{2x}{3} \) sẽ là đáp án đúng. Vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{\text{Không có trong các lựa chọn}} \] Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về đạo hàm và nguyên hàm. Trước tiên, ta biết rằng: \[ f(1) = 2^2 = 4 \] Ta cũng biết rằng: \[ \int f(x) \, dx = \theta - e' \] Từ đây, ta suy ra: \[ f(x) = \frac{d}{dx} (\theta - e') \] Do đó: \[ f(x) = -e' \] Vì đạo hàm của hằng số \(\theta\) là 0, nên ta có: \[ f(x) = -e' \] Bây giờ, ta cần tính giá trị của \( f(\ln 3) \). Thay \( x = \ln 3 \) vào biểu thức của \( f(x) \): \[ f(\ln 3) = -e' \] Vậy giá trị của \( f(\ln 3) \) là: \[ f(\ln 3) = -e' \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng với kết quả trên. Do đó, có thể có sự nhầm lẫn hoặc thiếu thông tin trong đề bài. Tuy nhiên, dựa trên các thông tin đã cho, ta có thể kết luận rằng: Đáp án đúng là: \[ f(\ln 3) = -e' \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng với kết quả trên. Câu 6. Khi hình phẳng trong hình vẽ quay quanh trục hoành, nó sẽ tạo thành một khối tròn xoay. Để tính thể tích của khối tròn xoay này, ta có thể sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay. Công thức tính thể tích khối tròn xoay khi một hình phẳng quay quanh trục hoành là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( f(x) \) là hàm số mô tả đường biên của hình phẳng. - \( a \) và \( b \) là giới hạn của đoạn trên trục hoành mà hình phẳng nằm trong đó. Bước 1: Xác định hàm số \( f(x) \) mô tả đường biên của hình phẳng. Bước 2: Xác định khoảng \( [a, b] \) trên trục hoành mà hình phẳng nằm trong đó. Bước 3: Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay. Ví dụ cụ thể: Giả sử hình phẳng được giới hạn bởi hàm số \( y = f(x) \) từ \( x = a \) đến \( x = b \). Thể tích khối tròn xoay tạo thành sẽ là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Để có thể tính toán cụ thể, ta cần biết hàm số \( f(x) \) và khoảng \( [a, b] \).