ffffffffffffgggffg

Câu 12. Để xác định điểm nào thuộc đường thẳng \(d\), ta cần kiểm tra tọa độ của mỗi điểm có thỏa mãn phương trình tham số của đường thẳng \(d\) hay không. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -1 - t \\ z = -3 + 2t \end{cases} \] Ta sẽ lần lượt kiểm tra từng điểm: 1. Kiểm tra điểm \(N(-2;1;3)\): \[ \begin{cases} -2 = 2 + 3t \\ 1 = -1 - t \\ 3 = -3 + 2t \end{cases} \] Giải phương trình đầu tiên: \[ -2 = 2 + 3t \implies 3t = -4 \implies t = -\frac{4}{3} \] Thay \(t = -\frac{4}{3}\) vào phương trình thứ hai: \[ 1 = -1 - \left(-\frac{4}{3}\right) \implies 1 = -1 + \frac{4}{3} \implies 1 = \frac{1}{3} \quad (\text{sai}) \] Do đó, điểm \(N(-2;1;3)\) không thuộc đường thẳng \(d\). 2. Kiểm tra điểm \(M(2;-1;-3)\): \[ \begin{cases} 2 = 2 + 3t \\ -1 = -1 - t \\ -3 = -3 + 2t \end{cases} \] Giải phương trình đầu tiên: \[ 2 = 2 + 3t \implies 3t = 0 \implies t = 0 \] Thay \(t = 0\) vào phương trình thứ hai: \[ -1 = -1 - 0 \implies -1 = -1 \quad (\text{đúng}) \] Thay \(t = 0\) vào phương trình thứ ba: \[ -3 = -3 + 2 \cdot 0 \implies -3 = -3 \quad (\text{đúng}) \] Do đó, điểm \(M(2;-1;-3)\) thuộc đường thẳng \(d\). 3. Kiểm tra điểm \(P(3;-1;2)\): \[ \begin{cases} 3 = 2 + 3t \\ -1 = -1 - t \\ 2 = -3 + 2t \end{cases} \] Giải phương trình đầu tiên: \[ 3 = 2 + 3t \implies 3t = 1 \implies t = \frac{1}{3} \] Thay \(t = \frac{1}{3}\) vào phương trình thứ hai: \[ -1 = -1 - \frac{1}{3} \implies -1 = -\frac{4}{3} \quad (\text{sai}) \] Do đó, điểm \(P(3;-1;2)\) không thuộc đường thẳng \(d\). 4. Kiểm tra điểm \(Q(-3;1;2)\): \[ \begin{cases} -3 = 2 + 3t \\ 1 = -1 - t \\ 2 = -3 + 2t \end{cases} \] Giải phương trình đầu tiên: \[ -3 = 2 + 3t \implies 3t = -5 \implies t = -\frac{5}{3} \] Thay \(t = -\frac{5}{3}\) vào phương trình thứ hai: \[ 1 = -1 - \left(-\frac{5}{3}\right) \implies 1 = -1 + \frac{5}{3} \implies 1 = \frac{2}{3} \quad (\text{sai}) \] Do đó, điểm \(Q(-3;1;2)\) không thuộc đường thẳng \(d\). Kết luận: Điểm \(M(2;-1;-3)\) thuộc đường thẳng \(d\). Đáp án đúng là: \(B.~M(2;-1;-3)\). Câu 1: a) Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng (P): \[ 1 - 2 \cdot 0 - 2 \cdot (-2) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10 \neq 0 \] Do đó, điểm B không nằm trên mặt phẳng (P). b) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức: \[ d(O, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Ở đây, \( A = 1 \), \( B = -2 \), \( C = -2 \), \( D = 5 \), và tọa độ gốc tọa độ O là \( (0, 0, 0) \): \[ d(O, (P)) = \frac{|1 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \frac{|5|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{5}{3} \] c) Mặt cầu đường kính OB có tâm là trung điểm của OB và bán kính là nửa đường kính OB. Tọa độ trung điểm của OB là: \[ \left( \frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{-2+0}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 0, -1 \right) \] Bán kính của mặt cầu là: \[ r = \frac{OB}{2} = \frac{\sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (-2-0)^2}}{2} = \frac{\sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} \] Phương trình mặt cầu là: \[ \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + y^2 + \left( z + 1 \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)^2 \] \[ \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + y^2 + \left( z + 1 \right)^2 = \frac{5}{4} \] \[ x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 + z^2 + 2z + 1 = \frac{5}{4} \] \[ x^2 + y^2 + z^2 - x + 2z + \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} \] \[ x^2 + y^2 + z^2 - x + 2z + \frac{5}{4} = \frac{5}{4} \] \[ x^2 + y^2 + z^2 - x + 2z = 0 \] d) Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) nếu tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0. Vectơ pháp tuyến của (P) là \( \vec{n}_1 = (1, -2, -2) \) và vectơ pháp tuyến của (Q) là \( \vec{n}_2 = (6, 2, 1) \): \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot 6 + (-2) \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = 6 - 4 - 2 = 0 \] Do đó, mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q). Đáp án đúng là: c) Mặt cầu đường kính OB có phương trình: \( x^2 + y^2 + z^2 - x + 2z = 0 \). Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow u=(7;11;14).$ - Điểm $A(0;1;1)$ và điểm $B(7;12;15)$ xác định đường thẳng $\Delta$. - Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{AB} = B - A = (7 - 0, 12 - 1, 15 - 1) = (7, 11, 14)$. - Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow u = (7; 11; 14)$. b) Phương trình đường thẳng $\Delta: \frac{x}{7} = \frac{y + 1}{11} = \frac{z + 1}{14}.$ - Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(0;1;1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = (7; 11; 14)$. - Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \begin{cases} x = 0 + 7t \\ y = 1 + 11t \\ z = 1 + 14t \end{cases} \] - Chuyển đổi sang dạng phương trình đoạn thẳng: \[ \frac{x}{7} = \frac{y + 1}{11} = \frac{z + 1}{14} \] c) Viên đạn đi qua hồng tâm. - Hồng tâm nằm tại điểm $C(14;23;29)$. - Ta kiểm tra xem điểm $C$ có nằm trên đường thẳng $\Delta$ hay không. - Thay tọa độ của điểm $C$ vào phương trình của đường thẳng $\Delta$: \[ \frac{14}{7} = \frac{23 + 1}{11} = \frac{29 + 1}{14} \] \[ 2 = 2 = 2 \] - Kết quả là đúng, vậy điểm $C$ nằm trên đường thẳng $\Delta$, tức là viên đạn đi qua hồng tâm. d) Đường thẳng $\Delta$ tạo với mặt phẳng (Oxz) một góc nhỏ hơn $60^0.$ - Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (0, 1, 0)$. - Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (Oxz) là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz). - Tính cosin của góc giữa $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow{n}$: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow u| |\overrightarrow{n}|} = \frac{(7, 11, 14) \cdot (0, 1, 0)}{\sqrt{7^2 + 11^2 + 14^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{11}{\sqrt{402}} \] - Ta có: \[ \cos \theta = \frac{11}{\sqrt{402}} \approx 0.547 \] - Góc $\theta$ là: \[ \theta = \cos^{-1}(0.547) \approx 56.7^\circ \] - Vì $56.7^\circ < 60^\circ$, nên đường thẳng $\Delta$ tạo với mặt phẳng (Oxz) một góc nhỏ hơn $60^\circ$. Đáp án: a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow u = (7; 11; 14)$. b) Phương trình đường thẳng $\Delta: \frac{x}{7} = \frac{y + 1}{11} = \frac{z + 1}{14}$. c) Viên đạn đi qua hồng tâm. d) Đường thẳng $\Delta$ tạo với mặt phẳng (Oxz) một góc nhỏ hơn $60^\circ$.