hhhhhhhhhhh

Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. 1. Tìm $\int_{-3}^{3} f(x) \, dx$: - Diện tích phần A là 6 và diện tích phần B là 13. - Diện tích tổng của hai phần là: \[ \int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 6 + 13 = 19 \] Vậy, $\int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 19$. Điều này chứng minh rằng: \[ a)~\int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 19 \] 2. Tính diện tích S: - Diện tích S là tổng diện tích của hai phần A và B: \[ S = 6 + 13 = 19 \] Vậy, $S = 19$. Điều này chứng minh rằng: \[ c)~S = 19 \] 3. Kiểm tra các phương án khác: - Phương án b) nói rằng $S = \int_{-1}^{1} |f(x)| \, dx = \int_{-1}^{2} f(x) \, dx - \int_{2}^{3} f(x) \, dx$. Điều này không đúng vì diện tích S đã được tính tổng diện tích của hai phần A và B, không liên quan đến các tích phân riêng lẻ như vậy. - Phương án d) nói rằng thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox là $V = \pi \int_{-3}^{3} [f(x)]^2 \, dx$. Điều này không đúng vì công thức thể tích vật thể tròn xoay là $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$, nhưng ở đây không có bình phương của $f(x)$ trong tích phân. Vậy, các phương án đúng là: \[ a)~\int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 19 \] \[ c)~S = 19 \] Câu 4: a) Xác suất để An lấy được viên phấn màu đỏ hoặc màu vàng là: \[ P(A) = \frac{6 + 1}{12} = \frac{7}{12} \] b) Xác suất để An lấy được viên phấn màu xanh là: \[ P(B) = \frac{5}{12} \] c) Biết An lấy được viên phấn màu xanh, tức là trong hộp còn lại 11 viên phấn, bao gồm 6 viên màu đỏ, 4 viên màu xanh và 1 viên màu vàng. Xác suất để Bình lấy được 5 viên phấn màu đỏ từ 11 viên phấn còn lại là: \[ P(C) = \frac{\binom{6}{5}}{\binom{11}{5}} = \frac{6}{\frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}} = \frac{6}{462} = \frac{1}{77} \] d) Biết An lấy được viên phấn màu đỏ, tức là trong hộp còn lại 11 viên phấn, bao gồm 5 viên màu đỏ, 5 viên màu xanh và 1 viên màu vàng. Xác suất để Bình lấy được 5 viên phấn cùng màu (cùng màu đỏ hoặc cùng màu xanh) là: \[ P(D) = \frac{\binom{5}{5} + \binom{5}{5}}{\binom{11}{5}} = \frac{1 + 1}{462} = \frac{2}{462} = \frac{1}{231} \] Đáp số: a) $\frac{7}{12}$ b) $\frac{5}{12}$ c) $\frac{1}{77}$ d) $\frac{1}{231}$ Câu 1: Để tính $\int^2_{1} f(x) dx$, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần và các tính chất của tích phân. Bước 1: Xác định các thành phần trong tích phân. \[ \int^2_{1} [5f(x) - 4x] dx = 12 \] Bước 2: Tách tích phân thành hai phần. \[ \int^2_{1} 5f(x) dx - \int^2_{1} 4x dx = 12 \] Bước 3: Tính tích phân của phần thứ hai. \[ \int^2_{1} 4x dx = 4 \int^2_{1} x dx = 4 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^2_{1} = 4 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = 4 \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = 4 \times \frac{3}{2} = 6 \] Bước 4: Thay kết quả vào phương trình ban đầu. \[ \int^2_{1} 5f(x) dx - 6 = 12 \] \[ \int^2_{1} 5f(x) dx = 18 \] Bước 5: Chia cả hai vế cho 5 để tìm $\int^2_{1} f(x) dx$. \[ \int^2_{1} f(x) dx = \frac{18}{5} \] Vậy, $\int^2_{1} f(x) dx = \frac{18}{5}$. Đáp số: $\frac{18}{5}$. Câu 2: Để tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = 5\sin x$, trục hoành, $x = 0$, và $x = \pi$ quanh trục hoành, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích bề mặt của khối tròn xoay: - Khi quay một hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)$, trục hoành, $x = a$, và $x = b$ quanh trục hoành, thể tích khối tròn xoay được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] 2. Áp dụng công thức vào bài toán: - Trong bài toán này, $f(x) = 5\sin x$, $a = 0$, và $b = \pi$. Do đó, thể tích khối tròn xoay là: \[ V = \pi \int_{0}^{\pi} (5\sin x)^2 \, dx \] - Ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{\pi} 25\sin^2 x \, dx \] 3. Tính tích phân: - Ta biết rằng $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$. Do đó: \[ V = \pi \int_{0}^{\pi} 25 \cdot \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx \] - Đơn giản hóa biểu thức: \[ V = \frac{25\pi}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2x)) \, dx \] - Tính tích phân từng phần: \[ \int_{0}^{\pi} 1 \, dx = x \Big|_{0}^{\pi} = \pi \] \[ \int_{0}^{\pi} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x) \Big|_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} (\sin(2\pi) - \sin(0)) = 0 \] - Kết hợp lại: \[ V = \frac{25\pi}{2} \left( \pi - 0 \right) = \frac{25\pi^2}{2} \] 4. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: - Ta có $\pi \approx 3.14159$, do đó: \[ V \approx \frac{25 \times (3.14159)^2}{2} \approx \frac{25 \times 9.8696}{2} \approx \frac{246.74}{2} \approx 123.37 \] - Làm tròn đến hàng đơn vị: \[ V \approx 123 \] Vậy thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục hoành là \(\boxed{123}\). Câu 3: Để tìm bán kính của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2+4x-2y+6z+5=0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng bình phương. Ta nhóm các hạng tử liên quan đến mỗi biến lại và hoàn thành bình phương: \[ x^2 + 4x + y^2 - 2y + z^2 + 6z + 5 = 0 \] Bước 2: Hoàn thành bình phương cho từng nhóm. \[ (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 + 6z + 9) = -5 + 4 + 1 + 9 \] \[ (x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2 = 9 \] Bước 3: So sánh với phương trình chuẩn của mặt cầu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$. Từ đó, ta nhận thấy rằng tâm của mặt cầu là $(-2, 1, -3)$ và bán kính $R$ là $\sqrt{9} = 3$. Vậy bán kính của mặt cầu là $3$.