giải với ạ

Câu 2: Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định tính đúng sai của chúng. a) \( BD \perp SC \) - Vì \( ABCD \) là hình vuông nên \( BD \) là đường chéo của hình vuông, do đó \( BD \perp AC \). - Mặt khác, \( SA \perp (ABCD) \), suy ra \( SA \perp BD \). - Kết hợp hai điều trên, ta có \( BD \perp (SAC) \), từ đó suy ra \( BD \perp SC \). Vậy phát biểu a) là đúng. b) \( SA \perp BC \) - \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( SA \perp BC \). Vậy phát biểu b) là đúng. c) Góc giữa hai đường thẳng \( SB \) và \( CD \) là \( \widehat{SBD} \) - Góc giữa hai đường thẳng \( SB \) và \( CD \) là góc giữa \( SB \) và hình chiếu của \( CD \) lên mặt phẳng chứa \( SB \) và \( BD \). - Hình chiếu của \( CD \) lên mặt phẳng \( (SBD) \) là \( BD \), do đó góc giữa \( SB \) và \( CD \) là \( \widehat{SBD} \). Vậy phát biểu c) là đúng. d) \( CD \perp (SAD) \) - \( CD \perp AD \) vì \( ABCD \) là hình vuông. - \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( SA \perp CD \). - Kết hợp hai điều trên, ta có \( CD \perp (SAD) \). Vậy phát biểu d) là đúng. Tóm lại, tất cả các phát biểu a), b), c) và d) đều đúng. Câu 1: Để tính $\log_a(a^3b^2\sqrt{c})$, ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit và các giá trị đã cho. Trước tiên, ta biết rằng: \[ \log_s b = 3 \quad \text{và} \quad \log_s c = -2 \] Ta cần tính $\log_a(a^3b^2\sqrt{c})$. Ta sẽ sử dụng tính chất logarit để tách biểu thức này thành các phần nhỏ hơn: \[ \log_a(a^3b^2\sqrt{c}) = \log_a(a^3) + \log_a(b^2) + \log_a(\sqrt{c}) \] Bây giờ, ta sẽ tính từng phần riêng lẻ: 1. Tính $\log_a(a^3)$: \[ \log_a(a^3) = 3 \log_a(a) = 3 \cdot 1 = 3 \] (vì $\log_a(a) = 1$) 2. Tính $\log_a(b^2)$: \[ \log_a(b^2) = 2 \log_a(b) \] 3. Tính $\log_a(\sqrt{c})$: \[ \log_a(\sqrt{c}) = \log_a(c^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_a(c) \] Bây giờ, ta cần chuyển đổi $\log_a(b)$ và $\log_a(c)$ sang cùng cơ sở với $\log_s b$ và $\log_s c$. Ta sử dụng công thức thay đổi cơ sở của logarit: \[ \log_a(b) = \frac{\log_s(b)}{\log_s(a)} \] \[ \log_a(c) = \frac{\log_s(c)}{\log_s(a)} \] Do đó: \[ \log_a(b) = \frac{3}{\log_s(a)} \] \[ \log_a(c) = \frac{-2}{\log_s(a)} \] Thay vào các biểu thức trên: \[ \log_a(b^2) = 2 \log_a(b) = 2 \cdot \frac{3}{\log_s(a)} = \frac{6}{\log_s(a)} \] \[ \log_a(\sqrt{c}) = \frac{1}{2} \log_a(c) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-2}{\log_s(a)} = \frac{-1}{\log_s(a)} \] Cuối cùng, tổng hợp lại: \[ \log_a(a^3b^2\sqrt{c}) = 3 + \frac{6}{\log_s(a)} + \frac{-1}{\log_s(a)} \] \[ = 3 + \frac{6 - 1}{\log_s(a)} \] \[ = 3 + \frac{5}{\log_s(a)} \] Vậy, giá trị của $\log_a(a^3b^2\sqrt{c})$ là: \[ \boxed{3 + \frac{5}{\log_s(a)}} \] Câu 2: Số tiền bà Lan nhận được sau 10 năm là: \[ 100 \times (1 + 0,08)^{10} = 100 \times 1,08^{10} \approx 215,89 \text{ (triệu đồng)} \] Đáp số: 215,89 triệu đồng Câu 3: Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', các mặt là các hình vuông, do đó các cạnh AA', AB, AD đều vuông góc với nhau. Ta cần tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA' và CD. Ta sẽ sử dụng tính chất của hình hộp và các vectơ để giải quyết bài toán này. - Vectơ $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ chỉ từ điểm A lên điểm A'. - Vectơ $\overrightarrow{CD}$ là vectơ chỉ từ điểm C đến điểm D. Do các mặt của hình hộp là các hình vuông, ta có: - $\overrightarrow{AA'}$ vuông góc với mặt đáy ABCD. - $\overrightarrow{CD}$ nằm trên mặt đáy ABCD và song song với $\overrightarrow{AB}$. Vì $\overrightarrow{AA'}$ vuông góc với mặt đáy ABCD, nên $\overrightarrow{AA'}$ cũng vuông góc với mọi vectơ nằm trên mặt đáy ABCD, bao gồm cả $\overrightarrow{CD}$. Do đó, góc giữa $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{CD}$ là 90°. Cosin của góc 90° là: \[ \cos(90^\circ) = 0 \] Vậy cosin của góc giữa hai đường thẳng AA' và CD là: \[ \boxed{0} \] Câu 4: Điều kiện xác định: $x^2 + 3x > 0$ $\Rightarrow x < -3$ hoặc $x > 0$ Phương trình đã cho tương đương với: \[ \log_2(x^2 + 3x) = 2 \] \[ x^2 + 3x = 2^2 \] \[ x^2 + 3x = 4 \] Đặt phương trình bậc hai: \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \] Ta giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = -4 \). Tính delta: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \] Các nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] Kiểm tra điều kiện xác định: - Với \( x = 1 \): \( 1^2 + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4 > 0 \) (thỏa mãn) - Với \( x = -4 \): \( (-4)^2 + 3 \cdot (-4) = 16 - 12 = 4 > 0 \) (thỏa mãn) Vậy các nghiệm của phương trình là \( x = 1 \) và \( x = -4 \). Tổng các nghiệm của phương trình là: \[ 1 + (-4) = -3 \] Đáp số: Tổng các nghiệm của phương trình là \(-3\).