trả lời ngắn lớp 12 toán PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1.Một bình đựng 50 viên bi trong đó có 30 viên bi xanh và 20 bi trắng, các viên bi kích thước,và chất liệu như nhau. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên ra một viên bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó,,bạn Yên lấy ngẫu nhiên một trong 49 viên bi còn lại. Tính xác suất để bạn Bình lấy được một bi,xanh và bạn Yên lấy được một bi trắng(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).,Câu 2. Tínhdiện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y=x^2+x-1,y=x^4+x-1,x=-1,x=1$,(làm tròn đến hai chữ số thập phân),Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng $\Delta_1:\frac{x+24}3=\frac{y-25}4=\frac z{-5}$ và $\Delta_2:\frac{x-26}5=\frac y3=\frac z4.$,Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1,\Delta_2$ bằng x độ. Khi đó, giá trị của a bằngbao nhiêu (làm tròn kết quả,đến hàng đơn vị)?,Câu 4. Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng,(Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí $A(3;-2;3)$ đến vị trí,$B(8;8;0).$ Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB và sân bay (một phần của mặt phẳng,(Oxy)) bằng a độ. Khi đó, giá trị của a bằngbao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?,Câu 5. Trong khối pha lê hình lập phương ABCD.AB'CDD' cạnh 8 cm có mặt cầu cách đều các mặt,của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' một khoảng 1 cm. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho đỉnh A,trùng với gốc tọa độ O, đỉnh B thuộc tia Ox, đỉnh D thuộc tia Oy, đỉnh A' thuộc tia Oz. Khi đó,,phương trình của mặt cầu bên trong khối pha lê hình lập phương là,$x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0.$ Tìm giá trị của $a+b+c+d.$,,Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và cắt các trục O,Oz lần lượt tại A, B, C (khác gốc tọa độ O) sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Mặt phh,có phương trình dạng $ax+by+cz-14=0.$ Tính tổng $T=a+b+c.$

Question

trả lời ngắn lớp 12 toán PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1.Một bình đựng 50 viên bi trong đó có 30 viên bi xanh và 20 bi trắng, các viên bi kích thước,và chất liệu như nhau. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên ra một viên bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó,,bạn Yên lấy ngẫu nhiên một trong 49 viên bi còn lại. Tính xác suất để bạn Bình lấy được một bi,xanh và bạn Yên lấy được một bi trắng(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).,Câu 2. Tínhdiện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y=x^2+x-1,y=x^4+x-1,x=-1,x=1$,(làm tròn đến hai chữ số thập phân),Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng $\Delta_1:\frac{x+24}3=\frac{y-25}4=\frac z{-5}$ và $\Delta_2:\frac{x-26}5=\frac y3=\frac z4.$,Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1,\Delta_2$ bằng x độ. Khi đó, giá trị của a bằngbao nhiêu (làm tròn kết quả,đến hàng đơn vị)?,Câu 4. Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng,(Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí $A(3;-2;3)$ đến vị trí,$B(8;8;0).$ Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB và sân bay (một phần của mặt phẳng,(Oxy)) bằng a độ. Khi đó, giá trị của a bằngbao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?,Câu 5. Trong khối pha lê hình lập phương ABCD.AB'CDD' cạnh 8 cm có mặt cầu cách đều các mặt,của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' một khoảng 1 cm. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho đỉnh A,trùng với gốc tọa độ O, đỉnh B thuộc tia Ox, đỉnh D thuộc tia Oy, đỉnh A' thuộc tia Oz. Khi đó,,phương trình của mặt cầu bên trong khối pha lê hình lập phương là,$x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0.$ Tìm giá trị của $a+b+c+d.$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/bc8205e94f294cb291b5db26af6472bd.jpg />,Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và cắt các trục O,Oz lần lượt tại A, B, C (khác gốc tọa độ O) sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Mặt phh,có phương trình dạng $ax+by+cz-14=0.$ Tính tổng $T=a+b+c.$

Accepted Answer

Câu 1.
Để tính xác suất để bạn Bình lấy được một bi xanh và bạn Yên lấy được một bi trắng, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính xác suất để bạn Bình lấy được một bi xanh:
   - Số viên bi xanh là 30.
   - Tổng số viên bi là 50.
   - Xác suất để bạn Bình lấy được một bi xanh là:
     $$
     P(Bình \text{ lấy bi xanh}) = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}
     $$

2. Tính xác suất để bạn Yên lấy được một bi trắng sau khi bạn Bình đã lấy một bi xanh:
   - Nếu bạn Bình đã lấy một bi xanh, số viên bi còn lại là 49.
   - Số viên bi trắng không thay đổi, vẫn là 20.
   - Xác suất để bạn Yên lấy được một bi trắng là:
     $$
     P(Yên \text{ lấy bi trắng}) = \frac{20}{49}
     $$

3. Tính xác suất tổng hợp để cả hai sự kiện xảy ra:
   - Xác suất để bạn Bình lấy được một bi xanh và bạn Yên lấy được một bi trắng là:
     $$
     P(\text{Bình lấy bi xanh và Yên lấy bi trắng}) = P(Bình \text{ lấy bi xanh}) \times P(Yên \text{ lấy bi trắng})
     $$
     $$
     P(\text{Bình lấy bi xanh và Yên lấy bi trắng}) = \frac{3}{5} \times \frac{20}{49} = \frac{60}{245} = \frac{12}{49}
     $$

4. Chuyển xác suất thành số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm:
   - Chuyển phân số $\frac{12}{49}$ thành số thập phân:
     $$
     \frac{12}{49} \approx 0.2449
     $$
   - Làm tròn đến hàng phần trăm:
     $$
     0.2449 \approx 0.24
     $$

Vậy xác suất để bạn Bình lấy được một bi xanh và bạn Yên lấy được một bi trắng là khoảng 0.24 hoặc 24%.

Câu 2.
Để tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $ y = x^2 + x - 1 $, $ y = x^4 + x - 1 $, $ x = -1 $, và $ x = 1 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định khoảng cách giữa hai đường cong
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong $ y = f(x) $ và $ y = g(x) $ từ $ x = a $ đến $ x = b $ là:
$$ A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx $$

Trong trường hợp này, $ f(x) = x^2 + x - 1 $ và $ g(x) = x^4 + x - 1 $. Do đó, khoảng cách giữa hai đường cong là:
$$ f(x) - g(x) = (x^2 + x - 1) - (x^4 + x - 1) = x^2 - x^4 $$

Bước 2: Tính diện tích
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường trên từ $ x = -1 $ đến $ x = 1 $ là:
$$ A = \int_{-1}^{1} (x^2 - x^4) \, dx $$

Bước 3: Tính tích phân
Chúng ta sẽ tính tích phân từng phần:
$$ \int_{-1}^{1} (x^2 - x^4) \, dx = \int_{-1}^{1} x^2 \, dx - \int_{-1}^{1} x^4 \, dx $$

Tính từng tích phân riêng lẻ:
$$ \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$

$$ \int_{-1}^{1} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} $$

Do đó:
$$ A = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{10}{15} - \frac{6}{15} = \frac{4}{15} $$

Bước 4: Làm tròn kết quả
Làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân:
$$ A \approx 0.27 $$

Đáp số
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $ y = x^2 + x - 1 $, $ y = x^4 + x - 1 $, $ x = -1 $, và $ x = 1 $ là:
$$ \boxed{0.27} $$

Câu 3.
Để tìm góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta cần xác định các vector chỉ phương của chúng.

Vector chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1 = (3, 4, -5)$.

Vector chỉ phương của $\Delta_2$ là $\vec{u}_2 = (5, 3, 4)$.

Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vector chỉ phương của chúng. Ta tính cosin của góc này bằng công thức:

$$
\cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| |\vec{u}_2|}
$$

Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2$:

$$
\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + (-5) \cdot 4 = 15 + 12 - 20 = 7
$$

Tiếp theo, ta tính độ dài của các vector $\vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$:

$$
|\vec{u}_1| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
$$

$$
|\vec{u}_2| = \sqrt{5^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 9 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
$$

Bây giờ, ta tính cosin của góc $\theta$:

$$
\cos \theta = \frac{7}{(5\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{7}{50} = 0.14
$$

Từ đây, ta tìm góc $\theta$ bằng cách lấy arccos của 0.14:

$$
\theta = \arccos(0.14) \approx 81.79^\circ
$$

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta có:

$$
\theta \approx 82^\circ
$$

Vậy giá trị của $a$ là 82.

Đáp số: $a = 82$.

Câu 4.
Để tìm góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng AB:
   Vector $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ:
   $$
   \overrightarrow{AB} = B - A = (8-3, 8+2, 0-3) = (5, 10, -3)
   $$

2. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy):
   Mặt phẳng (Oxy) có vector pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (0, 0, 1)$.

3. Tính cosin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy):
   Gọi $\theta$ là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy). Ta có:
   $$
   \cos(\theta) = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{n}|}
   $$
   Trong đó:
   $$
   \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = 5 \cdot 0 + 10 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 = -3
   $$
   $$
   |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{5^2 + 10^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 100 + 9} = \sqrt{134}
   $$
   $$
   |\overrightarrow{n}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1
   $$
   Vậy:
   $$
   \cos(\theta) = \frac{|-3|}{\sqrt{134} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{134}}
   $$

4. Tính góc $\theta$:
   $$
   \theta = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{134}}\right)
   $$
   Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $\theta$:
   $$
   \theta \approx 74^\circ
   $$

5. Tính góc giữa đường bay và sân bay:
   Gọi $\alpha$ là góc giữa đường bay và sân bay. Ta có:
   $$
   \alpha = 90^\circ - \theta
   $$
   $$
   \alpha = 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ
   $$

Vậy giá trị của góc a là:
$$
\boxed{16^\circ}
$$

Câu 5.
Để tìm giá trị của $a + b + c + d$ trong phương trình mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu:
   - Mặt cầu cách đều các mặt của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' một khoảng 1 cm.
   - Vì vậy, tâm của mặt cầu nằm ở trung điểm của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.
   - Tâm của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' là $(4, 4, 4)$ (do cạnh của hình lập phương là 8 cm).
   - Bán kính của mặt cầu là $4 - 1 = 3$ cm.

2. Viết phương trình mặt cầu:
   - Phương trình mặt cầu có tâm $(h, k, l)$ và bán kính $r$ là:
     $$
     (x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
     $$
   - Thay tâm $(4, 4, 4)$ và bán kính $3$ vào phương trình trên:
     $$
     (x - 4)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 3^2
     $$
     $$
     (x - 4)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 9
     $$

3. Chuyển đổi phương trình về dạng tổng quát:
   - Mở rộng phương trình:
     $$
     (x - 4)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 9
     $$
     $$
     x^2 - 8x + 16 + y^2 - 8y + 16 + z^2 - 8z + 16 = 9
     $$
     $$
     x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 8y - 8z + 48 = 9
     $$
     $$
     x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 8y - 8z + 39 = 0
     $$

4. So sánh với phương trình tổng quát $x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$:
   - Ta thấy rằng:
     $$
     2a = -8 \implies a = -4
     $$
     $$
     2b = -8 \implies b = -4
     $$
     $$
     2c = -8 \implies c = -4
     $$
     $$
     d = 39
     $$

5. Tính giá trị của $a + b + c + d$:
   $$
   a + b + c + d = -4 + (-4) + (-4) + 39 = 27
   $$

Vậy giá trị của $a + b + c + d$ là $\boxed{27}$.

Câu 6.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ các điểm A, B, C trên các trục Ox, Oy, Oz:
   - Điểm A nằm trên trục Ox, do đó tọa độ của A là $(a, 0, 0)$.
   - Điểm B nằm trên trục Oy, do đó tọa độ của B là $(0, b, 0)$.
   - Điểm C nằm trên trục Oz, do đó tọa độ của C là $(0, 0, c)$.

2. Xác định điều kiện để M là trực tâm tam giác ABC:
   - M là trực tâm tam giác ABC, tức là các đường cao từ các đỉnh của tam giác ABC đều đi qua M.
   - Điều này có nghĩa là các đoạn thẳng MA, MB, MC vuông góc với các cạnh tương ứng của tam giác ABC.

3. Tìm các vectơ MA, MB, MC:
   - Vectơ $\overrightarrow{MA} = (a - 1, -2, -3)$.
   - Vectơ $\overrightarrow{MB} = (-1, b - 2, -3)$.
   - Vectơ $\overrightarrow{MC} = (-1, -2, c - 3)$.

4. Áp dụng điều kiện trực tâm:
   - $\overrightarrow{MA}$ vuông góc với $\overrightarrow{BC}$:
     $$
     \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \implies (a - 1, -2, -3) \cdot (0, -b, c) = 0 \implies -2(-b) + (-3)c = 0 \implies 2b - 3c = 0 \implies b = \frac{3c}{2}
     $$
   - $\overrightarrow{MB}$ vuông góc với $\overrightarrow{CA}$:
     $$
     \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CA} = 0 \implies (-1, b - 2, -3) \cdot (a, 0, -c) = 0 \implies -a + (-3)(-c) = 0 \implies -a + 3c = 0 \implies a = 3c
     $$

5. Thay vào phương trình mặt phẳng:
   - Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là $ax + by + cz - 14 = 0$.
   - Thay $a = 3c$ và $b = \frac{3c}{2}$ vào phương trình mặt phẳng:
     $$
     3cx + \frac{3c}{2}y + cz - 14 = 0
     $$
   - Chia cả phương trình cho $c$ (với $c \neq 0$):
     $$
     3x + \frac{3}{2}y + z - \frac{14}{c} = 0
     $$
   - Để phương trình này đúng với mọi $c$, ta cần $\frac{14}{c} = 14$, suy ra $c = 1$. Do đó:
     $$
     a = 3 \times 1 = 3, \quad b = \frac{3 \times 1}{2} = \frac{3}{2}
     $$

6. Tính tổng $T = a + b + c$:
   $$
   T = 3 + \frac{3}{2} + 1 = \frac{6}{2} + \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{11}{2}
   $$

Vậy tổng $T = \frac{11}{2}$.