cho S.ABC là hình thoi. ABC vuông tại B. SA=2a, AB=a. O và I là trung điểm AC và BC. Tính khoảng cách SC và OI

Question

Accepted Answer

Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho:
- S.ABC là hình thoi.
- ABC là tam giác vuông tại B.
- SA = 2a, AB = a.
- O và I là trung điểm của AC và BC.

Bước 1: Xác định các đoạn thẳng và góc trong tam giác ABC.
- Vì ABC là tam giác vuông tại B, nên ta có:
  - AC là đường chéo của tam giác ABC và cũng là đường chéo của hình thoi S.ABC.
  - AC = $\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Bước 2: Xác định vị trí của O và I.
- O là trung điểm của AC, do đó AO = OC = $\frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
- I là trung điểm của BC, do đó BI = IC = $\frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$.

Bước 3: Xác định khoảng cách giữa SC và OI.
- Ta cần tìm khoảng cách giữa đường thẳng SC và đường thẳng OI. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của hình thoi và tam giác vuông.

Bước 4: Xác định tọa độ của các điểm.
- Gọi B là gốc tọa độ (0, 0), A là (a, 0), C là (0, a).
- O là trung điểm của AC, do đó tọa độ của O là $\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$.
- I là trung điểm của BC, do đó tọa độ của I là $\left(0, \frac{a}{2}\right)$.

Bước 5: Xác định phương trình của đường thẳng SC và OI.
- Đường thẳng SC đi qua S và C. Vì S nằm trên đường thẳng SA, ta có tọa độ của S là (0, 2a). Phương trình của đường thẳng SC là y = -x + 2a.
- Đường thẳng OI đi qua O và I. Phương trình của đường thẳng OI là y = $\frac{a}{2}$.

Bước 6: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và OI.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách giữa hai điểm trên mỗi đường thẳng. Ta có thể chọn điểm O trên đường thẳng OI và tìm khoảng cách từ O đến đường thẳng SC.
- Khoảng cách từ điểm O $\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$ đến đường thẳng SC y = -x + 2a là:
  $$
  d = \frac{\left|-\frac{a}{2} + \frac{a}{2} + 2a\right|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2}} = \frac{|2a|}{\sqrt{2}} = \frac{2a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2}
  $$

Vậy khoảng cách giữa SC và OI là $a\sqrt{2}$.