Giúp mình giải bài này với ạ Câu 26. Cho hàm số $y=x^4+2x^2+1$ có đồ thị $(C).$ . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M(1;4)$,là,$A.~y=8x-4.$ $B.~y=x+3.$ $C.~y=-8x+12.$ $D.~y=8x+4.$,Câu 27. Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt x+x$ tại điểm $x_0=4$ là:,$A.~y^\prime~4=\frac92.$ $ extcircled{B.}~4=6.$ $C.~y^\prime~4=\frac32.$ $D.~y^\prime~4=\frac54.$,Câu 28. Cho hàm số $y=x^2-x+2.$ Tính $y^\prime(1).$,$A.~y^\prime(1)=-1.$ $B.~y^\prime(1)=1.$ $C.~y^\prime(1)=2.$ $D.~y^\prime(1)=0.$,Câu 29. Tính đạo hàm của hàm số $y=x^2+2x+1.$,$y^2-3x^2+2$,$A.~y^\prime=3x^2+2x.$ $ extcircled{B)}~y^\prime=3x^2+2.$ $C.~y^\prime=3x^2+2x+1.$ $D.~y^\prime=x^2+2.$,Câu 30. Trên khoảng $(\frac12;+\infty).$ đạo hàm của hàm số $y=\log(2x-1)$ là,$A.~y^\prime=\frac1{(2x-1)\ln10}.$ $B.~y^\prime=\frac2{(2x-1)\ln10}$ $C.~y^\prime=\frac2{2x-1}.$ $D.~y^\prime=\frac1{2x-1}.$,Câu 31. Cho hàm số $f(x)=\sin^22x.$ Tính $f^\prime(x).$,$A.~f^\prime(x)=2\sin2x.$ $B.~f^\prime(x)=2\cos^22x.$ $C.~f^\prime(x)=2\sin4x$ $D.~f^\prime(x)=-2\sin4x.$,Câu 32. Đạo hàm cấp hai của hàm số $y=x^4-4x^3+2x+2022$ với $x\in\mathbb R$ là,$A.~y^{\prime\prime}=30x^4-24x+2.$ $B.~y^\prime=30x^4-24x.$ $C.~y^{\prime\prime}=6x^3-12x^2+2$ $D.~y^\prime=6x^5-12x^2.$,Câu 33. Cho hàm số $f(x)=x^3+2x.$ giá trị của $f^{\prime\prime}(1)$ bằng,A. 6. B. 8. C. 3. D. 2.,Câu 34. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S=-t^3+3t^2+9t.$ trong đó r tính bằng giây,và S tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.,$A.~v=12.$ $B.~v=10.$ $C.~v=0.$ $D.~v=15.$,Câu 35. Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu thị bởi công thức,$S(t)=4-2t+4t^2+2t^3,$ trong đó $t0$ và t tính bằng giây (s), S(t) tính bằng mét $(m).$ Tìm gia tốc $\alpha$,của chất điểm tại thời điểm $t=5(s).$,$A.~a=68(m/s^2).$ $B.~a=115(m/s^2).$ $C.~a=100(m/s^2).$ $D.~a=225(m/s^2).$,B. PHẦN TỰ LUẬN,Câu 36. Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x-2}{2x+1}.$

Question

Giúp mình giải bài này với ạ Câu 26. Cho hàm số $y=x^4+2x^2+1$ có đồ thị $(C).$ . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M(1;4)$,là,$A.~y=8x-4.$ $B.~y=x+3.$ $C.~y=-8x+12.$ $D.~y=8x+4.$,Câu 27. Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt x+x$ tại điểm $x_0=4$ là:,$A.~y^\prime~4=\frac92.$ $	extcircled{B.}~4=6.$ $C.~y^\prime~4=\frac32.$ $D.~y^\prime~4=\frac54.$,Câu 28. Cho hàm số $y=x^2-x+2.$ Tính $y^\prime(1).$,$A.~y^\prime(1)=-1.$ $B.~y^\prime(1)=1.$ $C.~y^\prime(1)=2.$ $D.~y^\prime(1)=0.$,Câu 29. Tính đạo hàm của hàm số $y=x^2+2x+1.$,$y^2-3x^2+2$,$A.~y^\prime=3x^2+2x.$ $	extcircled{B)}~y^\prime=3x^2+2.$ $C.~y^\prime=3x^2+2x+1.$ $D.~y^\prime=x^2+2.$,Câu 30. Trên khoảng $(\frac12;+\infty).$ đạo hàm của hàm số $y=\log(2x-1)$ là,$A.~y^\prime=\frac1{(2x-1)\ln10}.$ $B.~y^\prime=\frac2{(2x-1)\ln10}$ $C.~y^\prime=\frac2{2x-1}.$ $D.~y^\prime=\frac1{2x-1}.$,Câu 31. Cho hàm số $f(x)=\sin^22x.$ Tính $f^\prime(x).$,$A.~f^\prime(x)=2\sin2x.$ $B.~f^\prime(x)=2\cos^22x.$ $C.~f^\prime(x)=2\sin4x$ $D.~f^\prime(x)=-2\sin4x.$,Câu 32. Đạo hàm cấp hai của hàm số $y=x^4-4x^3+2x+2022$ với $x\in\mathbb R$ là,$A.~y^{\prime\prime}=30x^4-24x+2.$ $B.~y^\prime=30x^4-24x.$ $C.~y^{\prime\prime}=6x^3-12x^2+2$ $D.~y^\prime=6x^5-12x^2.$,Câu 33. Cho hàm số $f(x)=x^3+2x.$ giá trị của $f^{\prime\prime}(1)$ bằng,A. 6. B. 8. C. 3. D. 2.,Câu 34. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S=-t^3+3t^2+9t.$ trong đó r tính bằng giây,và S tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.,$A.~v=12.$ $B.~v=10.$ $C.~v=0.$ $D.~v=15.$,Câu 35. Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu thị bởi công thức,$S(t)=4-2t+4t^2+2t^3,$ trong đó $t>0$ và t tính bằng giây (s), S(t) tính bằng mét $(m).$ Tìm gia tốc $\alpha$,của chất điểm tại thời điểm $t=5(s).$,$A.~a=68(m/s^2).$ $B.~a=115(m/s^2).$ $C.~a=100(m/s^2).$ $D.~a=225(m/s^2).$,B. PHẦN TỰ LUẬN,Câu 36. Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x-2}{2x+1}.$

Accepted Answer

Câu 26.
Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^4 + 2x^2 + 1$ tại điểm $M(1, 4)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   Ta có:
   $$
   y' = \frac{d}{dx}(x^4 + 2x^2 + 1) = 4x^3 + 4x
   $$

2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $M(1, 4)$:
   Thay $x = 1$ vào đạo hàm:
   $$
   y'(1) = 4(1)^3 + 4(1) = 4 + 4 = 8
   $$
   Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M(1, 4)$ là $k = 8$.

3. Lập phương trình tiếp tuyến:
   Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $(x_0, y_0)$ có dạng:
   $$
   y - y_0 = k(x - x_0)
   $$
   Thay $x_0 = 1$, $y_0 = 4$, và $k = 8$ vào phương trình trên:
   $$
   y - 4 = 8(x - 1)
   $$
   Rút gọn phương trình:
   $$
   y - 4 = 8x - 8 \implies y = 8x - 4
   $$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $M(1, 4)$ là:
$$
y = 8x - 4
$$

Đáp án đúng là: $A.~y = 8x - 4$.

Câu 27.
Để tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x} + x$ tại điểm $x_0 = 4$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   - Đạo hàm của $\sqrt{x}$ là $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
   - Đạo hàm của $x$ là $1$.

Vậy đạo hàm của $y = \sqrt{x} + x$ là:
   $$
   y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1
   $$

2. Thay $x = 4$ vào đạo hàm:
   $$
   y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} + 1
   $$
   Ta biết rằng $\sqrt{4} = 2$, nên:
   $$
   y'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4}
   $$

Vậy đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x} + x$ tại điểm $x_0 = 4$ là $\frac{5}{4}$.

Đáp án đúng là: D. $y'(4) = \frac{5}{4}$.

Câu 28.
Để tính $y^\prime(1)$ của hàm số $y = x^2 - x + 2$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   Ta có hàm số $y = x^2 - x + 2$. Áp dụng công thức đạo hàm của các hàm cơ bản, ta có:
   $$
   y' = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(2)
   $$
   $$
   y' = 2x - 1 + 0
   $$
   $$
   y' = 2x - 1
   $$

2. Thay giá trị $x = 1$ vào đạo hàm:
   Thay $x = 1$ vào biểu thức đạo hàm $y' = 2x - 1$, ta có:
   $$
   y'(1) = 2(1) - 1
   $$
   $$
   y'(1) = 2 - 1
   $$
   $$
   y'(1) = 1
   $$

Vậy đáp án đúng là:
$$
B.~y^\prime(1)=1.
$$

Câu 29.
Để tính đạo hàm của hàm số $ y = x^2 + 2x + 1 $, ta áp dụng công thức đạo hàm của tổng và từng thành phần của nó.

1. Tính đạo hàm của $ x^2 $:
$$ \left( x^2 \right)' = 2x $$

2. Tính đạo hàm của $ 2x $:
$$ \left( 2x \right)' = 2 $$

3. Tính đạo hàm của hằng số 1:
$$ \left( 1 \right)' = 0 $$

Gộp lại ta có:
$$ y' = 2x + 2 + 0 = 2x + 2 $$

Vậy đạo hàm của hàm số $ y = x^2 + 2x + 1 $ là:
$$ y' = 2x + 2 $$

Do đó, đáp án đúng là:
$$ \textcircled{B)}~y^\prime=2x+2. $$

Câu 30.
Để tìm đạo hàm của hàm số $ y = \log(2x - 1) $ trên khoảng $(\frac{1}{2}; +\infty)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   Hàm số $ y = \log(2x - 1) $ có nghĩa khi $ 2x - 1 > 0 $. Điều này tương đương với $ x > \frac{1}{2} $. Do đó, ĐKXĐ của hàm số là $ x > \frac{1}{2} $.

2. Áp dụng công thức đạo hàm của hàm logarit cơ số a:
   Công thức đạo hàm của hàm số $ y = \log_a(u) $ là:
   $$
   y' = \frac{u'}{u \ln a}
   $$
   Trong đó, $ u = 2x - 1 $ và $ a = 10 $.

3. Tìm đạo hàm của $ u $:
   $$
   u' = \frac{d}{dx}(2x - 1) = 2
   $$

4. Thay vào công thức đạo hàm:
   $$
   y' = \frac{u'}{u \ln 10} = \frac{2}{(2x - 1) \ln 10}
   $$

Do đó, đạo hàm của hàm số $ y = \log(2x - 1) $ là:
$$
y' = \frac{2}{(2x - 1) \ln 10}
$$

Vậy đáp án đúng là:
$$
\boxed{B.~y' = \frac{2}{(2x - 1) \ln 10}}
$$

Câu 31.
Để tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \sin^2(2x)$, ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp và công thức đạo hàm của sin.

Bước 1: Xác định hàm con và hàm ngoài.
- Hàm con là $u = 2x$.
- Hàm ngoài là $y = \sin^2(u)$.

Bước 2: Tính đạo hàm của hàm con.
- Đạo hàm của $u = 2x$ là $u' = 2$.

Bước 3: Tính đạo hàm của hàm ngoài.
- Đạo hàm của $y = \sin^2(u)$ theo $u$ là $\frac{dy}{du} = 2\sin(u)\cos(u)$.

Bước 4: Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
- Đạo hàm của $f(x) = \sin^2(2x)$ theo $x$ là:
$$ f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2\sin(2x)\cos(2x) \cdot 2 = 4\sin(2x)\cos(2x) $$

Bước 5: Sử dụng công thức nhân đôi để đơn giản hóa kết quả.
- Ta biết rằng $\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$, do đó $4\sin(2x)\cos(2x) = 2 \cdot 2\sin(2x)\cos(2x) = 2\sin(4x)$.

Vậy, đạo hàm của hàm số $f(x) = \sin^2(2x)$ là:
$$ f'(x) = 2\sin(4x) $$

Đáp án đúng là: $C.~f^\prime(x)=2\sin4x$.

Câu 32.
Để tìm đạo hàm cấp hai của hàm số $ y = x^4 - 4x^3 + 2x + 2022 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm cấp một của hàm số:
$$ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^3 + 2x + 2022) $$
Áp dụng công thức đạo hàm của mỗi hạng tử:
$$ y' = 4x^3 - 12x^2 + 2 $$

2. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số:
$$ y'' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 12x^2 + 2) $$
Áp dụng công thức đạo hàm của mỗi hạng tử:
$$ y'' = 12x^2 - 24x $$

Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số $ y = x^4 - 4x^3 + 2x + 2022 $ là:
$$ y'' = 12x^2 - 24x $$

Do đó, đáp án đúng là:
$$ C.~y^{\prime\prime}=12x^2-24x $$

Câu 33.
Để tìm giá trị của $ f''(1) $, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm của $ f(x) $.

Hàm số đã cho là:
$$ f(x) = x^3 + 2x $$

Tính đạo hàm lần thứ nhất:
$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2 $$

Bước 2: Tính đạo hàm của $ f'(x) $.

Tính đạo hàm lần thứ hai:
$$ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 2) = 6x $$

Bước 3: Thay $ x = 1 $ vào $ f''(x) $.

$$ f''(1) = 6 \cdot 1 = 6 $$

Vậy giá trị của $ f''(1) $ là 6.

Đáp án đúng là: A. 6.

Câu 34.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm vận tốc $ v(t) $ của chuyển động:
   Vận tốc $ v(t) $ là đạo hàm của phương trình chuyển động $ S(t) $:
   $$
   v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(-t^3 + 3t^2 + 9t) = -3t^2 + 6t + 9
   $$

2. Tìm gia tốc $ a(t) $ của chuyển động:
   Gia tốc $ a(t) $ là đạo hàm của vận tốc $ v(t) $:
   $$
   a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-3t^2 + 6t + 9) = -6t + 6
   $$

3. Xác định thời điểm gia tốc triệt tiêu:
   Gia tốc triệt tiêu khi $ a(t) = 0 $:
   $$
   -6t + 6 = 0 \implies t = 1
   $$

4. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu:
   Thay $ t = 1 $ vào phương trình vận tốc:
   $$
   v(1) = -3(1)^2 + 6(1) + 9 = -3 + 6 + 9 = 12
   $$

Vậy vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là $ v = 12 $.

Đáp án đúng là: $ A.~v=12 $.

Câu 35.
Để tìm gia tốc $\alpha$ của chất điểm tại thời điểm $t = 5$ (s), ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm vận tốc tức thời $v(t)$:
   - Vận tốc tức thời $v(t)$ là đạo hàm của phương trình chuyển động $S(t)$ theo thời gian $t$.
   $$
   v(t) = \frac{dS(t)}{dt}
   $$
   Ta có:
   $$
   S(t) = 4 - 2t + 4t^2 + 2t^3
   $$
   Đạo hàm từng hạng tử:
   $$
   \frac{d}{dt}(4) = 0
   $$
   $$
   \frac{d}{dt}(-2t) = -2
   $$
   $$
   \frac{d}{dt}(4t^2) = 8t
   $$
   $$
   \frac{d}{dt}(2t^3) = 6t^2
   $$
   Vậy:
   $$
   v(t) = -2 + 8t + 6t^2
   $$

2. Tìm gia tốc tức thời $\alpha(t)$:
   - Gia tốc tức thời $\alpha(t)$ là đạo hàm của vận tốc tức thời $v(t)$ theo thời gian $t$.
   $$
   \alpha(t) = \frac{dv(t)}{dt}
   $$
   Ta có:
   $$
   v(t) = -2 + 8t + 6t^2
   $$
   Đạo hàm từng hạng tử:
   $$
   \frac{d}{dt}(-2) = 0
   $$
   $$
   \frac{d}{dt}(8t) = 8
   $$
   $$
   \frac{d}{dt}(6t^2) = 12t
   $$
   Vậy:
   $$
   \alpha(t) = 8 + 12t
   $$

3. Tính gia tốc tại thời điểm $t = 5$ (s):
   Thay $t = 5$ vào biểu thức của gia tốc:
   $$
   \alpha(5) = 8 + 12 \cdot 5 = 8 + 60 = 68
   $$

Vậy gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 5$ (s) là:
$$
\boxed{68 \text{ m/s}^2}
$$

Đáp án đúng là: A. $\alpha = 68 \text{ m/s}^2$.

Câu 36.
Để tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x - 2}{2x + 1}$, ta sẽ áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số.

Công thức đạo hàm của thương hai hàm số là:
$$ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$

Trong đó:
- $ u = x - 2 $
- $ v = 2x + 1 $

Bước 1: Tính đạo hàm của $ u $ và $ v $:
$$ u' = (x - 2)' = 1 $$
$$ v' = (2x + 1)' = 2 $$

Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số:
$$ y' = \left( \frac{x - 2}{2x + 1} \right)' = \frac{(x - 2)'(2x + 1) - (x - 2)(2x + 1)'}{(2x + 1)^2} $$

Bước 3: Thay $ u', v', u, v $ vào công thức:
$$ y' = \frac{1 \cdot (2x + 1) - (x - 2) \cdot 2}{(2x + 1)^2} $$

Bước 4: Thực hiện phép nhân và trừ:
$$ y' = \frac{2x + 1 - 2(x - 2)}{(2x + 1)^2} $$
$$ y' = \frac{2x + 1 - 2x + 4}{(2x + 1)^2} $$
$$ y' = \frac{5}{(2x + 1)^2} $$

Vậy đạo hàm của hàm số $ y = \frac{x - 2}{2x + 1} $ là:
$$ y' = \frac{5}{(2x + 1)^2} $$