Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, D, E lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AH, đường thẳng vuông góc AB tại D cắt CE ở F, CMR tam giác BCF vuông

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, D, E lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AH, đường thẳng vuông góc AB tại D cắt CE ở F, CMR  tam giác BCF vuông

Accepted Answer

{"userId":5154501,"userName":"đóm con cutii🎀"}

Gọi $M$ là trung điểm của $BH$.

Xét tam giác $ABH$ có $D$ là trung điểm của $AB$, $E$ là trung điểm của $AH$ nên $DE$ là đường trung bình của $ riangle ABH$.

Suy ra $DE // BH$.

Ta có $DF \perp AB$ mà $AB \perp AC$ nên $DF // AC$.

Xét tam giác $ABC$ có $D$ là trung điểm của $AB$ và $DF // AC$ nên $F$ là trung điểm của $BC$.

Suy ra $CF$ là đường trung tuyến của $ riangle ABC$.

Ta có $DE // BH$ hay $DE // BM$.

Xét tam giác $ABH$ có $D$ là trung điểm của $AB$, $M$ là trung điểm của $BH$ nên $DM$ là đường trung bình của $ riangle ABH$.

Suy ra $DM // AH$.

Ta có $AH \perp AB$ nên $DM \perp AB$.

Ta có $DF \perp AB$ nên $D, F, M$ thẳng hàng.

Suy ra $DE, DM$ trùng nhau.

Do đó $E, F, M$ thẳng hàng.

Ta có $E$ là trung điểm của $AH$, $M$ là trung điểm của $BH$ nên $EM$ là đường trung bình của $ riangle ABH$.

Suy ra $EM = \frac{1}{2} AB$.

Mà $DE = \frac{1}{2} BH$ nên $DM = EM + DE = \frac{1}{2} AB + \frac{1}{2} BH$.

Ta có $F$ là trung điểm của $BC$ nên $CF = \frac{1}{2} BC$.

Ta có $DF \perp AB$.

Xét tam giác $BDF$ có $DF \perp AB$ nên $ riangle BDF$ vuông tại $D$.

Suy ra $BF = \sqrt{BD^2 + DF^2}$.

Ta có $BC^2 = AB^2 + AC^2$.

Xét tam giác $BFC$ có $BF^2 + CF^2 = BD^2 + DF^2 + CF^2 = \frac{1}{4} AB^2 + \frac{1}{4} AC^2 + \frac{1}{4} BC^2 = \frac{1}{4} (AB^2 + AC^2 + BC^2) = \frac{1}{4} (BC^2 + BC^2) = \frac{1}{2} BC^2$.

$BC^2 = BF^2 + CF^2$

$ riangle BFC$ vuông tại $F$

Vậy tam giác $BCF$ vuông tại $F$.