Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA,từ đó suy ra AB.AH  BH.AC
b) Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại I. Tia phân giác góc HAC cắt BC tại K.
Chứng minh IK // AC

Question

Cho  tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA,từ đó suy ra AB.AH  BH.AC
b) Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại I. Tia phân giác góc HAC cắt BC tại K.
Chứng minh IK // AC

Accepted Answer

a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA

Xét $ riangle ABC$ và $ riangle HBA$ ta có:

$\widehat{BAC} = \widehat{BHA} = 90^\circ$

$\widehat{B}$ chung

Suy ra $ riangle ABC \sim riangle HBA$ (g.g)

Từ đó suy ra $AB.AH = BH.AC$

Vì $ riangle ABC \sim riangle HBA$ (chứng minh trên)

Suy ra $\frac{AB}{BH} = \frac{AC}{AH}$

$\Rightarrow AB.AH = BH.AC$

b) Chứng minh IK // AC

Gọi $BI$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$, $AK$ là tia phân giác của $\widehat{HAC}$

Ta có: $\widehat{BAI} + \widehat{IAC} = 90^\circ$

$\widehat{IBA} + \widehat{BCA} = 90^\circ$

Mà $\widehat{BAI} = \widehat{IBA}$ (vì BI là tia phân giác của $\widehat{ABC}$)

Suy ra $\widehat{IAC} = \widehat{BCA}$

Xét $ riangle AIC$ có $\widehat{IAC} = \widehat{ACI}$

Suy ra $ riangle AIC$ cân tại $I$

$\Rightarrow AI = CI$

Ta có $\widehat{HAK} = \widehat{KAC}$ (vì AK là tia phân giác của $\widehat{HAC}$)

$\widehat{KAC} = \widehat{AKI}$ (vì $ riangle AIC$ cân tại I)

Suy ra $ riangle AKC$ cân tại $C$

$\Rightarrow AK = CK$

Xét $ riangle ABC$ có $AK$ là tia phân giác của $\widehat{HAC}$

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác:

$\frac{CK}{BK} = \frac{AC}{AB}$ (1)

Xét $ riangle AHB$ có $BI$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác:

$\frac{AI}{HI} = \frac{AB}{BH}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\frac{CK}{BK} . \frac{BH}{AI} = \frac{AC}{AB} . \frac{BH}{AB}$

Ta có $AB.AH = BH.AC$ (chứng minh trên)

Suy ra $\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{BH}$

Suy ra $\frac{CK}{BK} . \frac{AI}{HI} = \frac{AH}{BH} . \frac{BH}{AB}$

$\frac{CK}{BK} . \frac{AI}{HI} = \frac{AH}{AB}$

Xét $ riangle ABC$ có:

$\frac{BK}{CK} . \frac{AK}{AH} = \frac{AB}{AC}$

Vậy IK // AC (theo định lý Thales đảo)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA,từ đó suy ra AB.AH  BH.AC b) Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại I. Tia phân giác góc HAC cắt BC tại...