giúp mình với Câu 5. Cho $\Delta ABC$ nhọn $AB

Question

giúp mình với Câu 5. Cho $\Delta ABC$ nhọn $AB<AC$ nội tiếp đường tròn (O) bán kính R . Hai đường cao AD , BE,$(D\in BC,~E\in AB)$ cắt nhau tại H , kéo dài BE cắt $(O;R)$ tại F . Gọi Mlà trrng điiể cca AAB..,a) Chứng minh tứ giác CDEH là tứ giác nội tiếp;,b) Chứng minh rằng $AB.CE=BE.FC$ và đường thẳng ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp,tam giác CDE ;,c) Cho điểm A di động trên cung lớn BC , dây BC cố định và $BC=R\sqrt3.$ Tìm giá trị lớn nhất,của tích DH.DA và xác định vị trí của điểm A khi đó.

Accepted Answer

Câu 5.
a) Ta có $\widehat{BHD}=\widehat{BEC}=90^\circ$ nên tứ giác CDEH là tứ giác nội tiếp (cùng chắn cung CD)

b) Ta có $\widehat{CBE}=\widehat{CAF}$ (cùng chắn cung CF) và $\widehat{FCA}=\widehat{FBA}$ (cùng chắn cung FB) nên $\Delta CAF$ đồng dạng với $\Delta CEB$ (g-g)

Suy ra $\frac{CA}{CE}=\frac{CF}{CB}$ hay $AB.CE=BE.FC$

Ta có $\widehat{MCE}=\widehat{MBC}$ (cùng chắn cung MB) và $\widehat{MBC}=\widehat{MCE}$ (tứ giác CDEH nội tiếp) nên $\widehat{MCE}=\widehat{MCE}$

Suy ra $\Delta MCE$ cân tại M nên $\widehat{MEC}=\widehat{MCE}$

Mà $\widehat{MCE}=\widehat{MDE}$ (cùng chắn cung MD) nên $\widehat{MEC}=\widehat{MDE}$

Suy ra đường thẳng ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE

c) Ta có $\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^\circ$ nên tứ giác BDCE nội tiếp

Suy ra $\widehat{EDC}=\widehat{EBC}$ (cùng chắn cung EC)

Mà $\widehat{EBC}=\widehat{EAC}$ (cùng chắn cung EC) nên $\widehat{EDC}=\widehat{EAC}$

Suy ra $\Delta DCH$ đồng dạng với $\Delta ACH$ (g-g)

Suy ra $\frac{DH}{AH}=\frac{CH}{CH}$ hay $DH.DA=CH^2$

Ta có $CH^2=BC^2-BH^2=R^2	imes 3-BH^2$

Vậy để tích $DH.DA$ lớn nhất thì $BH=0$ hay H trùng với B

Khi đó tam giác ABC vuông tại B và A là trung điểm của cung ACB