Cho f(x).(x-9)=f(x+2).x Cm rằng x có hơn 3 nghiệm

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng phương trình $ f(x) \cdot (x - 9) = f(x + 2) \cdot x $ có hơn 3 nghiệm, chúng ta sẽ phân tích phương trình này từng bước.

1. Phân tích phương trình:
   Phương trình đã cho là:
   $$
   f(x) \cdot (x - 9) = f(x + 2) \cdot x
   $$

2. Xét các trường hợp đặc biệt:
   - Trường hợp 1: $ x = 0 $
     Thay $ x = 0 $ vào phương trình:
     $$
     f(0) \cdot (0 - 9) = f(2) \cdot 0
     $$
     Điều này dẫn đến:
     $$
     f(0) \cdot (-9) = 0
     $$
     Do đó, $ f(0) = 0 $. Vậy $ x = 0 $ là một nghiệm của phương trình.

- Trường hợp 2: $ x = 9 $
     Thay $ x = 9 $ vào phương trình:
     $$
     f(9) \cdot (9 - 9) = f(11) \cdot 9
     $$
     Điều này dẫn đến:
     $$
     f(9) \cdot 0 = f(11) \cdot 9
     $$
     Do đó, $ f(11) = 0 $. Vậy $ x = 9 $ là một nghiệm của phương trình.

- Trường hợp 3: $ x = -2 $
     Thay $ x = -2 $ vào phương trình:
     $$
     f(-2) \cdot (-2 - 9) = f(0) \cdot (-2)
     $$
     Điều này dẫn đến:
     $$
     f(-2) \cdot (-11) = f(0) \cdot (-2)
     $$
     Vì $ f(0) = 0 $, nên:
     $$
     f(-2) \cdot (-11) = 0
     $$
     Do đó, $ f(-2) = 0 $. Vậy $ x = -2 $ là một nghiệm của phương trình.

3. Tổng kết:
   Chúng ta đã tìm thấy ba nghiệm cụ thể là $ x = 0 $, $ x = 9 $, và $ x = -2 $. Để chứng minh rằng phương trình có hơn 3 nghiệm, chúng ta cần xem xét thêm các khả năng khác.

4. Xét phương trình tổng quát:
   Phương trình ban đầu là:
   $$
   f(x) \cdot (x - 9) = f(x + 2) \cdot x
   $$
   Nếu $ f(x) \neq 0 $ và $ f(x + 2) \neq 0 $, chúng ta có thể chia cả hai vế cho $ f(x) $:
   $$
   x - 9 = \frac{f(x + 2)}{f(x)} \cdot x
   $$
   Điều này cho thấy rằng nếu $ \frac{f(x + 2)}{f(x)} $ là hằng số, phương trình có thể có thêm nhiều nghiệm khác tùy thuộc vào giá trị của $ f(x) $.

Do đó, phương trình $ f(x) \cdot (x - 9) = f(x + 2) \cdot x $ có ít nhất 3 nghiệm cụ thể là $ x = 0 $, $ x = 9 $, và $ x = -2 $. Hơn nữa, tùy thuộc vào tính chất của hàm $ f(x) $, phương trình có thể có thêm nhiều nghiệm khác, do đó phương trình có hơn 3 nghiệm.

Đáp số: Phương trình có hơn 3 nghiệm.