*Cho các số nguyên dương a,b,c sao cho a^2-bc là số chính phương. chứng minh rằng 2a+b+c là hợp số

Question

Accepted Answer

Giả sử $a^2 - bc = k^2$ với $k$ là số nguyên dương. Ta có:
$$a^2 - k^2 = bc$$
$$(a - k)(a + k) = bc$$

Ta sẽ chứng minh rằng $2a + b + c$ là hợp số. Xét hai trường hợp:

1. Trường hợp 1: $a - k = 1$
   $$a + k = bc$$
   $$2a = 1 + bc$$
   $$2a + b + c = 1 + bc + b + c$$
   $$= (b + 1)(c + 1)$$

Vì $b$ và $c$ là số nguyên dương, nên $b + 1$ và $c + 1$ đều lớn hơn 1. Do đó, $2a + b + c$ là tích của hai số lớn hơn 1, tức là nó là hợp số.

2. Trường hợp 2: $a - k > 1$
   $$a - k = d$$ (với $d$ là số nguyên dương lớn hơn 1)
   $$a + k = e$$ (với $e$ là số nguyên dương)
   $$de = bc$$

Từ đây ta có:
$$2a = d + e$$
$$2a + b + c = d + e + b + c$$

Vì $d > 1$, $e > 1$, $b > 0$, và $c > 0$, nên $d + e + b + c$ là tổng của các số lớn hơn 1, do đó nó cũng là hợp số.

Như vậy, trong cả hai trường hợp, ta đã chứng minh rằng $2a + b + c$ là hợp số.