Giúp mình…

Câu 1: a) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;1;-2)$ và đi qua A. Đáp án: Sai Lập luận: Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;1;-2)$ là đúng. Tuy nhiên, điểm A(-1;0;2) không thuộc mặt phẳng (P) vì thay tọa độ của A vào phương trình của (P) ta có: \[2(-1) + 0 - 2(2) = -2 - 4 = -6 \neq 0\] b) Phương trình mặt phẳng qua A và song song (P) là $2x + y - 2z + 6 = 0$. Đáp án: Đúng Lập luận: Mặt phẳng qua A và song song với (P) sẽ có cùng vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;1;-2)$. Phương trình mặt phẳng có dạng: \[2(x + 1) + 1(y - 0) - 2(z - 2) = 0\] \[2x + 2 + y - 2z + 4 = 0\] \[2x + y - 2z + 6 = 0\] c) Mặt phẳng qua gốc tọa độ O, điểm A và vuông góc (P) có phương trình là $2x - 2y + z = 0$. Đáp án: Sai Lập luận: Mặt phẳng qua O và A sẽ có vectơ pháp tuyến vuông góc với $\overrightarrow{n}=(2;1;-2)$. Ta cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này. Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là $\overrightarrow{m}=(a;b;c)$. Vì mặt phẳng này qua O và A nên $\overrightarrow{OA}=(-1;0;2)$ nằm trong mặt phẳng. Do đó, $\overrightarrow{m}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{OA}$: \[\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \Rightarrow 2a + b - 2c = 0\] \[\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{OA} = 0 \Rightarrow -a + 2c = 0 \Rightarrow a = 2c\] Thay $a = 2c$ vào phương trình đầu tiên: \[2(2c) + b - 2c = 0 \Rightarrow 4c + b - 2c = 0 \Rightarrow 2c + b = 0 \Rightarrow b = -2c\] Chọn $c = 1$, ta có $\overrightarrow{m} = (2; -2; 1)$. Phương trình mặt phẳng qua O và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{m} = (2; -2; 1)$ là: \[2x - 2y + z = 0\] d) Có tất cả hai mặt phẳng song song với (P) và có khoảng cách đến A bằng 2. Đáp án: Đúng Lập luận: Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là: \[d = \frac{|2(-1) + 1(0) - 2(2)|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-2 - 4|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{6}{3} = 2\] Do đó, có hai mặt phẳng song song với (P) và có khoảng cách đến A bằng 2, một mặt phẳng ở phía bên kia của (P) và cách A 2 đơn vị. Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 2: a) Đúng vì phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]$. b) Sai vì: $\overrightarrow{AB} = (2 - 1, 1 - 2, 2 + 2) = (1, -1, 4)$ $\overrightarrow{AC} = (3 - 1, -2 - 2, 1 + 2) = (2, -4, 3)$ $\overrightarrow{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 4 \\ 2 & -4 & 3 \end{vmatrix} = (-1 \cdot 3 - 4 \cdot (-4))\mathbf{i} - (1 \cdot 3 - 4 \cdot 2)\mathbf{j} + (1 \cdot (-4) - (-1) \cdot 2)\mathbf{k}$ $= (13, 5, -2)$ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, -2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (13, 5, -2)$ là: $13(x - 1) + 5(y - 2) - 2(z + 2) = 0$ $13x - 13 + 5y - 10 - 2z - 4 = 0$ $13x + 5y - 2z - 27 = 0$ c) Sai vì: $\overrightarrow{BC} = (3 - 2, -2 - 1, 1 - 2) = (1, -3, -1)$ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, -2) và nhận $\overrightarrow{BC} = (1, -3, -1)$ làm vectơ pháp tuyến là: $1(x - 1) - 3(y - 2) - 1(z + 2) = 0$ $x - 1 - 3y + 6 - z - 2 = 0$ $x - 3y - z + 3 = 0$ d) Đúng vì: Hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox là E(1, 0, 0) Hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy là F(0, 2, 0) Hình chiếu vuông góc của A lên trục Oz là K(0, 0, -2) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm E, F, K là: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} - \frac{z}{2} = 1$ Đáp số: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng. Câu 3: a) Ta thấy điểm M(1;3;2) thoả mãn phương trình của đường thẳng d nên điểm M nằm trên đường thẳng d. Vậy khẳng định a) là đúng. b) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(1;-1;2).$ Vậy khẳng định b) là sai. c) Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow v=(1;-1;2).$ Ta thấy $\overrightarrow v=\overrightarrow u$ nên đường thẳng d song song với đường thẳng $\Delta.$ Vậy khẳng định c) là đúng. d) Đường thẳng $d^\prime$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow w=(-3;1;-3).$ Ta thấy $\overrightarrow w$ không cùng phương với $\overrightarrow u$ nên hai đường thẳng d và $d^\prime$ không song song. Mặt khác, đường thẳng d đi qua điểm M(1;3;2) và đường thẳng $d^\prime$ đi qua điểm N(0;0;-1). Ta thấy hai đường thẳng d và $d^\prime$ không trùng nhau vì hai điểm M và N không cùng thuộc cả hai đường thẳng d và $d^\prime.$ Vậy hai đường thẳng d và $d^\prime$ chéo nhau. Vậy khẳng định d) là đúng. Câu 4: Để lập luận từng bước về chuyển động của cabin cáp treo trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình tham số của đường thẳng: - Cabin cáp treo xuất phát từ điểm \( A(10; 3; 0) \) và chuyển động theo vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u} = (2, -2, 1) \). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( A \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u} \) là: \[ \begin{cases} x = 10 + 2t \\ y = 3 - 2t \\ z = 0 + t \end{cases} \] Trong đó, \( t \) là tham số. 2. Xác định vận tốc của cabin cáp treo: - Vận tốc của cabin cáp treo là 4,5 m/s. 3. Tính khoảng cách cabin cáp treo đã di chuyển theo thời gian: - Khoảng cách cabin cáp treo đã di chuyển sau thời gian \( t \) giây là: \[ d = v \cdot t = 4,5 \cdot t \text{ (m)} \] 4. Xác định tọa độ của cabin cáp treo sau thời gian \( t \) giây: - Tọa độ của cabin cáp treo sau thời gian \( t \) giây là: \[ \begin{cases} x = 10 + 2t \\ y = 3 - 2t \\ z = t \end{cases} \] 5. Tổng kết: - Cabin cáp treo xuất phát từ điểm \( A(10; 3; 0) \) và chuyển động theo đường thẳng có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 10 + 2t \\ y = 3 - 2t \\ z = t \end{cases} \] - Sau thời gian \( t \) giây, cabin cáp treo sẽ có tọa độ \( (10 + 2t, 3 - 2t, t) \). Đáp số: \[ \begin{cases} x = 10 + 2t \\ y = 3 - 2t \\ z = t \end{cases} \]