Tam giác ABC nhọn, AB

Question

Tam giác ABC nhọn, AB < AC có Hai đường cao AH và BK cắt nhau tại I
a) Chứng minh: tam giác BIH ∽ ΔAIK và IA·IH = IB·IK
b) Qua B kẻ đường vuông góc với AB cắt tia AH tại E. Chứng minh: ΔBIA ∽ ΔHIK và ∠BKH = ∠HBE
c) Kẻ phân giác AD. Chứng minh: IB / IE = AH / BK

Accepted Answer

{"userId":5085002,"userName":"Duyên Lê Thị Mỹ"}

a)

*Chứng minh tam giác BIH đồng dạng tam giác AIK:*

Xét tam giác BIH và tam giác AIK, ta có:

$\angle BIH = \angle AIK$ (đối đỉnh)

$\angle BHI = \angle AKI = 90^\circ$ (AH và BK là đường cao)

Do đó, $ riangle BIH \sim riangle AIK$ (g.g)

*Chứng minh IA.IH = IB.IK:*

Từ $ riangle BIH \sim riangle AIK$, ta có:

$\frac{BI}{AI} = \frac{IH}{IK}$

Suy ra: $AI \cdot IH = BI \cdot IK$ (hay $IA \cdot IH = IB \cdot IK$)

b)

*Chứng minh tam giác BIA đồng dạng tam giác HIK:*

Ta có:

$\angle BIA = \angle HIK$ (đối đỉnh)

$\frac{IA}{IB} = \frac{IK}{IH}$ (do $IA \cdot IH = IB \cdot IK$)

Do đó, $ riangle BIA \sim riangle HIK$ (c.g.c)

*Chứng minh $\angle BKH = \angle HBE$:*

Vì $BE \perp AB$ nên $\angle ABE = 90^\circ$

Xét tứ giác AEBK, ta có: $\angle EAK + \angle EBK = \angle EAK + 90^\circ = 180^\circ$ (vì $\angle EAK$ và $\angle EBK$ là hai góc kề bù)

Suy ra tứ giác AEBK nội tiếp.

$\angle BKH = \angle BAE$ (cùng chắn cung BE)

Mặt khác, $\angle HBE = 90^\circ - \angle A = \angle BAE$ (do $ riangle ABE$ vuông tại B)

Vậy $\angle BKH = \angle HBE$

c)

*Chứng minh IB / IE = AH / BK:*

Gọi giao điểm của AD với BK là F.

Vì AD là phân giác của $\angle BAC$, theo tính chất đường phân giác trong tam giác ABF:

$\frac{AB}{AF} = \frac{BD}{DF}$

Xét $ riangle ABE$, có $BD$ là đường phân giác:

$\frac{AB}{AE} = \frac{IB}{IE}$

(1)

Xét $ riangle ABC$, có $AD$ là đường phân giác:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$

(2)

Mặt khác:

$ riangle ABH \sim riangle CBK$ (g.g)

=>$\frac{AH}{BK} = \frac{AB}{BC} $

(3)

Từ (1), (2) và (3) ta chứng minh được: $IB / IE = AH / BK$

Tam giác ABC nhọn, AB < AC có Hai đường cao AH và BK cắt nhau tại I a) Chứng minh: tam giác BIH ∽ ΔAIK và IA·IH = IB·IK b) Qua B kẻ đường vuông góc với AB cắt tia AH tại E. Chứng minh: ΔBIA ∽ ΔHIK và ∠...