Câu 2:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn dựa vào đồ thị của hàm số .
a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3:
- Trên đồ thị, ta thấy rằng khi , giá trị của là 3. Do đó, đồ thị cắt trục tung tại điểm có tọa độ . Vậy lựa chọn này đúng.
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng :
- Trên đồ thị, từ đến , ta thấy rằng giá trị của giảm dần. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng . Vậy lựa chọn này đúng.
c) Đồng biến trên khoảng :
- Trên đồ thị, từ đến , ta thấy rằng giá trị của giảm dần. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng , không phải đồng biến. Vậy lựa chọn này sai.
d) Nghịch biến trên khoảng :
- Trên đồ thị, từ đến , ta thấy rằng giá trị của tăng dần. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng , không phải nghịch biến. Vậy lựa chọn này sai.
Kết luận:
- Lựa chọn a) và b) là đúng.
- Lựa chọn c) và d) là sai.
Đáp án: a) và b)
Câu 3:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số.
2. Xác định các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0.
3. Xác định tính chất của hàm số tại các điểm cực trị.
4. Kiểm tra các lựa chọn đã cho.
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số:
Bước 2: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị:
Chia cả hai vế cho 3:
Phương trình này có thể được phân tích thành:
Do đó, các nghiệm là:
Bước 3: Xác định tính chất của hàm số tại các điểm cực trị:
- Tại :
Ta kiểm tra đạo hàm ở các điểm lân cận:
Do đó, hàm số đạt cực đại tại .
- Tại :
Ta kiểm tra đạo hàm ở các điểm lân cận:
Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại .
Bước 4: Kiểm tra các lựa chọn đã cho:
a) Hàm số nghịch biến trên khoảng : Đúng vì đạo hàm âm trong khoảng này.
b) Hàm số có 2 điểm cực trị: Đúng vì đã tìm thấy 2 điểm cực trị tại và .
c) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 3: Sai vì giá trị cực tiểu là 0 tại .
d) Điểm cực đại của đồ thị hàm số có tổng hoành độ và tung độ bằng 4: Đúng vì điểm cực đại là và .
Kết luận:
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
Đáp án: a) và b)
Câu 4:
Để giải quyết từng phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
a) Hàm vận tốc là , với .
Hàm vận tốc được xác định bằng đạo hàm của hàm vị trí :
b) Vào thời điểm thì vật chuyển động theo chiều âm.
Vật chuyển động theo chiều âm khi vận tốc . Ta giải bất phương trình:
Tìm nghiệm của phương trình bậc hai:
Sử dụng công thức nghiệm:
Bất phương trình đúng trong khoảng . Do đó, vật chuyển động theo chiều âm trong khoảng thời gian .
c) Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian là 2 (m).
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ đến là:
Ta chia khoảng thời gian thành các đoạn để tính tích phân:
- Từ đến :
- Từ đến :
- Từ đến :
Tính quãng đường:
Tính từng tích phân:
Tổng quãng đường:
d) Khi thì vật tăng tốc.
Vật tăng tốc khi gia tốc . Gia tốc là đạo hàm của vận tốc :
Gia tốc dương khi:
Do đó, vật tăng tốc khi , không phải khi .
Kết luận:
a) Hàm vận tốc là , với .
b) Vào thời điểm thì vật chuyển động theo chiều âm.
c) Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian là 2 (m).
d) Khi thì vật tăng tốc.
Câu 5:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết.
a) Khi , hàm số trở thành:
Đạo hàm của hàm số này là:
Ta thấy rằng:
Do đó, hàm số đồng biến trên toàn bộ khoảng . Vậy phần a đúng.
b) Đạo hàm của hàm số là:
Phần b đúng.
c) Để hàm số đồng biến trên , đạo hàm của nó phải lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi :
Điều kiện để một tam thức bậc hai với mọi là:
Trong trường hợp này:
Tính :
Yêu cầu :
Các giá trị nguyên của trong khoảng này là: . Như vậy, có 7 giá trị nguyên của chứ không phải 3 giá trị. Phần c sai.
d) Như đã tính ở phần c, các giá trị nguyên của là: . Như vậy, có 7 giá trị nguyên của chứ không phải 6 giá trị. Phần d sai.
Kết luận:
- Phần a đúng.
- Phần b đúng.
- Phần c sai.
- Phần d sai.
Vậy đáp án đúng là:
a) Khi thì hàm số đồng biến trên
b) Đạo hàm của hàm số là
Câu 6:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.
a) Khi thì hàm số nghịch biến trên khoảng
Khi , hàm số trở thành:
Tính đạo hàm của hàm số:
Trên khoảng , . Do đó, trên toàn bộ khoảng này, trừ điểm .
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .
b) Ta có
Tính đạo hàm của hàm số :
Do đó, .
d) Hàm số nghịch biến trên khoảng khi , khi đó
Hàm số nghịch biến khi đạo hàm :
Vì với mọi , nên ta chỉ cần xét:
Do đó, hoặc .
Hàm số nghịch biến trên khoảng khi hoặc .
e) Hàm số nghịch biến trên khoảng khi , khi đó
Từ phần d), ta có hoặc .
Giả sử và .
Nếu , ta có thể chọn và .
Nếu , ta có thể chọn và .
Kiểm tra điều kiện :
- Nếu và , thì không xác định vì cơ số âm.
- Nếu và , thì .
Vậy không có giá trị nào thỏa mãn cả hai điều kiện.
Kết luận
a) Đúng.
b) Đúng.
d) Đúng.
e) Sai.
Đáp án: a, b, d.