Giải hộ e với

Câu 1. Để tìm các điểm cực trị của hàm số $y = f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 + 12x) = 6x^2 - 18x + 12 \] Bước 2: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 0 \] Chia cả hai vế cho 6: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Phương trình này có dạng bậc hai, ta giải nó bằng cách sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\): \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Để xác định tính chất của các điểm cực trị, ta kiểm tra dấu của đạo hàm \(f'(x)\) ở các khoảng giữa các nghiệm. - Ta có \(f'(x) = 6(x - 1)(x - 2)\). Kiểm tra dấu của \(f'(x)\) trong các khoảng: - Khi \(x < 1\), \(f'(x) > 0\) (hàm số đồng biến) - Khi \(1 < x < 2\), \(f'(x) < 0\) (hàm số nghịch biến) - Khi \(x > 2\), \(f'(x) > 0\) (hàm số đồng biến) Từ đó, ta thấy: - \(x = 1\) là điểm cực đại vì \(f'(x)\) chuyển từ dương sang âm. - \(x = 2\) là điểm cực tiểu vì \(f'(x)\) chuyển từ âm sang dương. Bước 4: Tính \(P = -x_1 + x_2\): \[ P = -1 + 2 = 1 \] Vậy, giá trị của \(P\) là: \[ \boxed{1} \] Câu 2. Để tìm các điểm cực trị của hàm số $y = \frac{-3x^2 - 5x - 5}{x - 2}$, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta có: \[ y = \frac{-3x^2 - 5x - 5}{x - 2} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x - 2)(-6x - 5) - (-3x^2 - 5x - 5)}{(x - 2)^2} \] Tính đạo hàm ở tử số: \[ (x - 2)(-6x - 5) = -6x^2 - 5x + 12x + 10 = -6x^2 + 7x + 10 \] Do đó: \[ y' = \frac{-6x^2 + 7x + 10 + 3x^2 + 5x + 5}{(x - 2)^2} = \frac{-3x^2 + 12x + 15}{(x - 2)^2} \] 2. Tìm các điểm cực trị: Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình $y' = 0$: \[ \frac{-3x^2 + 12x + 15}{(x - 2)^2} = 0 \] Điều này tương đương với: \[ -3x^2 + 12x + 15 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \] Vậy: \[ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 \] 3. Tính tổng các điểm cực trị: \[ x_1 + x_2 = 5 + (-1) = 4 \] Vậy, tổng các điểm cực trị của hàm số là: \[ \boxed{4} \] Câu 3. Để tìm giá trị của \( b \) sao cho số người bị nhiễm bệnh tăng trong khoảng thời gian \( (0; b) \), chúng ta cần tìm khoảng thời gian mà đạo hàm của hàm số \( N(t) \) là dương. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( N(t) \). \[ N'(t) = \frac{d}{dt}(-t^3 + 12t^2) = -3t^2 + 24t \] Bước 2: Xác định khoảng thời gian mà đạo hàm dương. \[ N'(t) > 0 \] \[ -3t^2 + 24t > 0 \] \[ t(24 - 3t) > 0 \] Phương trình \( t(24 - 3t) = 0 \) có hai nghiệm: \[ t = 0 \quad \text{và} \quad t = 8 \] Bước 3: Xét dấu của biểu thức \( t(24 - 3t) \) trên các khoảng \( (-\infty, 0) \), \( (0, 8) \), và \( (8, +\infty) \). - Trên khoảng \( (0, 8) \), ta có \( t > 0 \) và \( 24 - 3t > 0 \), do đó \( t(24 - 3t) > 0 \). - Trên khoảng \( (8, +\infty) \), ta có \( t > 0 \) và \( 24 - 3t < 0 \), do đó \( t(24 - 3t) < 0 \). Vậy đạo hàm \( N'(t) \) dương trên khoảng \( (0, 8) \). Bước 4: Kết luận giá trị của \( b \). Số người bị nhiễm bệnh tăng trong khoảng thời gian \( (0, b) \), do đó \( b = 8 \). Đáp số: \( b = 8 \) Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\) từ bảng biến thiên của hàm số \(y = \frac{x^2 + 1}{x}\). Bước 1: Xác định các điểm cực đại và cực tiểu từ bảng biến thiên. - Hàm số \(y = \frac{x^2 + 1}{x}\) có dạng \(y = x + \frac{1}{x}\). - Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = 1 - \frac{1}{x^2} \] - Đặt \(y' = 0\) để tìm các điểm cực trị: \[ 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \] \[ \frac{1}{x^2} = 1 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] Bước 2: Xác định giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. - Khi \(x = 1\): \[ y(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2 \] - Khi \(x = -1\): \[ y(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2 \] Bước 3: Xác định các giá trị \(a\), \(b\), và \(c\) từ bảng biến thiên. - Từ bảng biến thiên, ta thấy: - \(a\) là giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu \(x = -1\), tức là \(a = -2\). - \(b\) là giá trị của hàm số tại điểm cực đại \(x = 1\), tức là \(b = 2\). - \(c\) là giá trị của hàm số tại vô cùng, tức là \(c = 1\) (vì khi \(x \to \infty\), \(y \to x\)). Bước 4: Tính giá trị của biểu thức \(S = a + 2b + 3c\). \[ S = (-2) + 2(2) + 3(1) \] \[ S = -2 + 4 + 3 \] \[ S = 5 \] Vậy giá trị của biểu thức \(S = a + 2b + 3c\) là 5. Câu 5. Để hàm số $y=\frac{m}{3}x^{3}-2mx^{2}+(3m+5)x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, ta cần tìm các giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn dương trên $\mathbb{R}$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{m}{3}x^{3} - 2mx^{2} + (3m+5)x\right)' = mx^{2} - 4mx + (3m + 5). \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, đạo hàm $y'$ phải luôn dương trên $\mathbb{R}$: \[ mx^{2} - 4mx + (3m + 5) > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}. \] Bước 3: Xét tính chất của tam thức bậc hai $f(x) = mx^{2} - 4mx + (3m + 5)$: - Để tam thức bậc hai luôn dương trên $\mathbb{R}$, hệ số $m$ phải dương ($m > 0$) và biệt thức $B = b^{2} - 4ac < 0$. Bước 4: Tìm điều kiện của $m$: - Hệ số $m > 0$. - Biệt thức $B = (-4m)^{2} - 4 \cdot m \cdot (3m + 5) < 0$: \[ B = 16m^{2} - 4m(3m + 5) < 0 \] \[ B = 16m^{2} - 12m^{2} - 20m < 0 \] \[ B = 4m^{2} - 20m < 0 \] \[ B = 4m(m - 5) < 0 \] Bước 5: Giải bất phương trình $4m(m - 5) < 0$: - Ta có $m(m - 5) < 0$, suy ra $0 < m < 5$. Bước 6: Kết hợp điều kiện $m > 0$ và $0 < m < 5$, ta có $0 < m < 5$. Các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $m = 1, 2, 3, 4$. Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $m = 1, 2, 3, 4$. Câu 6. Để hàm số $y=\frac13x^3-mx^2+(m^2-4)x+3$ đạt cực đại tại $x=3$, ta cần tìm giá trị thực của tham số $m$. Ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = x^2 - 2mx + (m^2 - 4) \] Bước 2: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị. \[ y' = 0 \] \[ x^2 - 2mx + (m^2 - 4) = 0 \] Bước 3: Thay $x = 3$ vào phương trình đạo hàm bằng 0. \[ 3^2 - 2m(3) + (m^2 - 4) = 0 \] \[ 9 - 6m + m^2 - 4 = 0 \] \[ m^2 - 6m + 5 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai để tìm giá trị của $m$. \[ m^2 - 6m + 5 = 0 \] \[ (m - 1)(m - 5) = 0 \] \[ m = 1 \text{ hoặc } m = 5 \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện để hàm số đạt cực đại tại $x = 3$. - Với $m = 1$: \[ y' = x^2 - 2x + (1 - 4) = x^2 - 2x - 3 \] \[ y'' = 2x - 2 \] Thay $x = 3$ vào $y''$: \[ y''(3) = 2(3) - 2 = 4 > 0 \] Vậy $m = 1$ không thỏa mãn vì $y''(3) > 0$ (điều này chỉ ra rằng hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$). - Với $m = 5$: \[ y' = x^2 - 10x + (25 - 4) = x^2 - 10x + 21 \] \[ y'' = 2x - 10 \] Thay $x = 3$ vào $y''$: \[ y''(3) = 2(3) - 10 = -4 < 0 \] Vậy $m = 5$ thỏa mãn vì $y''(3) < 0$ (điều này chỉ ra rằng hàm số đạt cực đại tại $x = 3$). Kết luận: Giá trị thực của tham số $m$ để hàm số đạt cực đại tại $x = 3$ là $m = 5$.