trả lời câu hỏi Câu 3. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm $I(2;0;24)$ và tiếp xúc với mặt phẳng,$3x+4y-z^2-8=0$ có phương trình dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0.$ Giá trị của d bằng?

Question

Accepted Answer

{"userId":5400063,"userName":"Võ Thịi Ly"}

Câu 3:

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;0;24)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): 3x+4y-z-8=0$.

Phương trình mặt cầu có dạng:

$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$

Trong đó $I(a;b;c)$ là tâm và $R$ là bán kính.

Từ đó, ta có $(x-2)^2 + (y-0)^2 + (z-24)^2 = R^2$

Hay $x^2 - 4x + 4 + y^2 + z^2 - 48z + 576 = R^2$

$\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 48z + 580 = R^2$

$\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 48z + 580 - R^2 = 0$

So sánh với phương trình đã cho:

$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

Ta có $a = 2, b=0, c=24$ và $d = 580 - R^2$.

Mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ thì $R = d(I,(P))$

$R = \dfrac{|3(2) + 4(0) - (24) - 8|}{\sqrt{3^2+4^2+(-1)^2}} = \dfrac{|6-24-8|}{\sqrt{9+16+1}} = \dfrac{|-26|}{\sqrt{26}} = \sqrt{26}$

Khi đó $R^2 = 26$

Vậy $d = 580 - 26 = 554$.