cuuuuuuuuuuuuuuuuuj

Câu 5: Phương trình mặt phẳng (Oy) trong không gian Oxyz là phương trình của mặt phẳng đi qua trục Oy và vuông góc với trục Ox và Oz. Mặt phẳng (Oy) bao gồm tất cả các điểm có tọa độ (0, y, 0). Điều này có nghĩa là tọa độ x và z của mọi điểm trên mặt phẳng này đều bằng 0. Do đó, phương trình của mặt phẳng (Oy) là: \[ x = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~x=0. \] Câu 6: Để tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình (H) quanh trục Ox, chúng ta cần xác định các điểm giao của đồ thị hàm số $y = x^2 - 5x + 4$ với trục Ox. 1. Tìm các điểm giao của đồ thị với trục Ox: \[ y = x^2 - 5x + 4 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 4) = 0 \] Suy ra: \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 \] Do đó, các điểm giao là $(1, 0)$ và $(4, 0)$. 2. Xác định khoảng tích phân: Khoảng tích phân từ $x = 1$ đến $x = 4$. 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó, $f(x) = x^2 - 5x + 4$, $a = 1$, và $b = 4$. 4. Tính tích phân: \[ V = \pi \int_{1}^{4} (x^2 - 5x + 4)^2 \, dx \] \[ = \pi \int_{1}^{4} (x^4 - 10x^3 + 33x^2 - 40x + 16) \, dx \] 5. Tính từng phần của tích phân: \[ \int_{1}^{4} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{4} = \frac{4^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{1024}{5} - \frac{1}{5} = \frac{1023}{5} \] \[ \int_{1}^{4} (-10x^3) \, dx = -10 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{4} = -10 \left( \frac{4^4}{4} - \frac{1^4}{4} \right) = -10 \left( \frac{256}{4} - \frac{1}{4} \right) = -10 \left( 64 - \frac{1}{4} \right) = -10 \times \frac{255}{4} = -\frac{2550}{4} = -\frac{1275}{2} \] \[ \int_{1}^{4} 33x^2 \, dx = 33 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{4} = 33 \left( \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = 33 \left( \frac{64}{3} - \frac{1}{3} \right) = 33 \times \frac{63}{3} = 33 \times 21 = 693 \] \[ \int_{1}^{4} (-40x) \, dx = -40 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = -40 \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = -40 \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = -40 \left( 8 - \frac{1}{2} \right) = -40 \times \frac{15}{2} = -300 \] \[ \int_{1}^{4} 16 \, dx = 16 \left[ x \right]_{1}^{4} = 16 (4 - 1) = 16 \times 3 = 48 \] 6. Cộng tất cả các kết quả lại: \[ V = \pi \left( \frac{1023}{5} - \frac{1275}{2} + 693 - 300 + 48 \right) \] \[ = \pi \left( \frac{1023}{5} - \frac{1275}{2} + 441 \right) \] \[ = \pi \left( \frac{1023}{5} - \frac{1275}{2} + \frac{2205}{5} \right) \] \[ = \pi \left( \frac{1023 + 2205}{5} - \frac{1275}{2} \right) \] \[ = \pi \left( \frac{3228}{5} - \frac{1275}{2} \right) \] \[ = \pi \left( \frac{6456}{10} - \frac{6375}{10} \right) \] \[ = \pi \left( \frac{81}{10} \right) \] \[ = \frac{81\pi}{10} \] Vậy thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình (H) quanh trục Ox là $\frac{81\pi}{10}$. Đáp án đúng là: $A.~\frac{81\pi}{10}$. Câu 7: Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho bởi phương trình tham số \(\frac{x-2}{-1} = \frac{y-1}{2} = \frac{3-z}{-1}\), ta cần xác định các hệ số ở mẫu số của các phân thức này. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \[ \frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 3}{1} \] Từ đó, ta thấy rằng các hệ số ở mẫu số của các phân thức này chính là các thành phần của vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[ \overrightarrow{u}_d = (-1, 2, -1) \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\overrightarrow{u}_d = (-1, 2, -1) \] Câu 8: Để tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(3; -1; 2) \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u} = (4; 0; -3) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm trên đường thẳng: Gọi \( M'(x; y; z) \) là một điểm bất kỳ trên đường thẳng. 2. Tìm vectơ \( \overrightarrow{MM'} \): Vectơ \( \overrightarrow{MM'} \) có tọa độ là: \[ \overrightarrow{MM'} = (x - 3; y + 1; z - 2) \] 3. Vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u} \): Ta biết rằng \( \overrightarrow{MM'} \) cùng phương với \( \overrightarrow{u} \). Do đó, tồn tại một số thực \( t \) sao cho: \[ \overrightarrow{MM'} = t \cdot \overrightarrow{u} \] Điều này dẫn đến: \[ (x - 3; y + 1; z - 2) = t \cdot (4; 0; -3) \] 4. Xây dựng hệ phương trình tham số: Từ phương trình trên, ta có: \[ \begin{cases} x - 3 = 4t \\ y + 1 = 0 \\ z - 2 = -3t \end{cases} \] 5. Giải hệ phương trình để tìm \( x \), \( y \), và \( z \): \[ \begin{cases} x = 3 + 4t \\ y = -1 \\ z = 2 - 3t \end{cases} \] Do đó, phương trình tham số của đường thẳng là: \[ A.\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 4t \\ y = -1 \\ z = 2 - 3t \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 4t \\ y = -1 \\ z = 2 - 3t \end{array} \right. \] Câu 9: Để tính giá trị của \( P(B) \), ta sẽ sử dụng công thức xác suất tổng hợp. Theo đó, ta có: \[ P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) \] Trước tiên, ta cần biết \( P(\overline{A}) \): \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \] Bây giờ, ta thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ P(B) = \left( \frac{2}{5} \right) \cdot \left( \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{3}{5} \right) \cdot \left( \frac{1}{4} \right) \] Ta thực hiện phép nhân từng phần: \[ \left( \frac{2}{5} \right) \cdot \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{15} \] \[ \left( \frac{3}{5} \right) \cdot \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{20} \] Tiếp theo, ta cộng hai kết quả này lại: \[ P(B) = \frac{2}{15} + \frac{3}{20} \] Để cộng hai phân số này, ta cần quy đồng mẫu số chung. Mẫu số chung của 15 và 20 là 60: \[ \frac{2}{15} = \frac{2 \times 4}{15 \times 4} = \frac{8}{60} \] \[ \frac{3}{20} = \frac{3 \times 3}{20 \times 3} = \frac{9}{60} \] Do đó: \[ P(B) = \frac{8}{60} + \frac{9}{60} = \frac{17}{60} \] Vậy giá trị của \( P(B) \) là: \[ \boxed{\frac{17}{60}} \] Đáp án đúng là: C. \(\frac{17}{60}\). Câu 10: Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos 2x \), chúng ta sẽ áp dụng công thức nguyên hàm của hàm cosinus và quy tắc nguyên hàm của hàm hợp. Bước 1: Xác định nguyên hàm của \( \cos u \): \[ \int \cos u \, du = \sin u + C \] Bước 2: Áp dụng vào hàm số \( f(x) = \cos 2x \): \[ \int \cos 2x \, dx \] Bước 3: Sử dụng quy tắc nguyên hàm của hàm hợp: \[ \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C \] Giải thích: Khi tính nguyên hàm của \( \cos 2x \), ta coi \( 2x \) như là biến \( u \). Do đó, \( du = 2 \, dx \) hoặc \( dx = \frac{1}{2} \, du \). Vì vậy, nguyên hàm trở thành: \[ \int \cos 2x \, dx = \int \cos u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \cos u \, du = \frac{1}{2} \sin u + C = \frac{1}{2} \sin 2x + C \] Vậy, tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos 2x \) là: \[ \frac{1}{2} \sin 2x + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~\frac{1}{2}\sin 2x + C. \] Câu 11: Để tìm phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua gốc tọa độ O và song song với mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình: \(2x - y - 2z - 1 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\vec{n} = (2, -1, -2)\). 2. Xác định phương trình của mặt phẳng (Q): Vì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) cũng là \(\vec{n} = (2, -1, -2)\). 3. Viết phương trình mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) đi qua gốc tọa độ O(0, 0, 0). Phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) sẽ có dạng: \[ 2x - y - 2z + d = 0 \] Vì mặt phẳng (Q) đi qua điểm O(0, 0, 0), thay tọa độ của O vào phương trình trên ta có: \[ 2(0) - 0 - 2(0) + d = 0 \implies d = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng (Q) là: \[ 2x - y - 2z = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~2x - y - 2z = 0 \] Câu 12: Để tính $\int^2_0 3f(x) dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^2_0 3f(x) dx = 3 \int^2_0 f(x) dx \] Biết rằng $\int^2_0 f(x) dx = 6$, ta thay vào: \[ 3 \int^2_0 f(x) dx = 3 \times 6 = 18 \] Vậy $\int^2_0 3f(x) dx = 18$. Đáp án đúng là: D. 18. Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). 2. Kiểm tra xem điểm A có nằm trên mặt phẳng (P) hay không. 3. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P). Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) có phương trình: \(2x + y - 2z - 3 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow{n} = (2; 1; -2)\). Bước 2: Kiểm tra xem điểm A có nằm trên mặt phẳng (P) hay không Thay tọa độ của điểm A vào phương trình mặt phẳng: \[2(1) + 3 - 2(-2) - 3 = 2 + 3 + 4 - 3 = 6 \neq 0.\] Vậy điểm A không nằm trên mặt phẳng (P). Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Công thức tính khoảng cách từ điểm \(A(x_1, y_1, z_1)\) đến mặt phẳng \(ax + by + cz + d = 0\) là: \[d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.\] Áp dụng công thức này: \[d = \frac{|2(1) + 1(3) - 2(-2) - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 + 3 + 4 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|6|}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2.\] Bước 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) Đường thẳng đi qua điểm \(A(1; 3; -2)\) và vuông góc với mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (2; 1; -2)\). Phương trình đường thẳng là: \[\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 2}{-2}.\] Kết luận: a) Vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow{n} = (2; 1; -2)\). b) Mặt phẳng (P) không đi qua điểm A. c) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là 2. d) Phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) là \(\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 2}{-2}\).