Giúp em với Câu 18. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin^3x.\cos x$ thỏa mãn $F(0)=\pi.$ Tính $F(\frac\pi2).$,(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). 3,29,IV. TỰ LUẬN,Câu 19. Một biển quảng cáo có dạng hình vuông ABCD cạnh $AB=4~m.$ Trên tấm biển đó có các đường,tròn tâm A và đường tròn tâm B cùng bán kính $R=4~m.$ hai đường tròn cắt nhau như hình vẽ. Chi phí đề,sơn phần gạch chéo là $150000~đồng/m^2.$ chi phí sơn phần màu đen là 100000 đồng/ $m^2$ và chi phí để sơn,phần còn lại là 250000 đồng/m',$m^2$,,Tính số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách trên,Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho các điểm $M(m;0;0),~N(0;n;0),~P(0;0;p)$ không trùng với gốc tọa,độ và thỏa mãn $m^2+n^2+p^2=3,m,n,p$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến,mặt phẳng (MNP) . (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).,Câu 21. Một người săn thỏ trong rừng, khả năng anh ta bắn trúng thỏ trong mỗi lần bắn tỷ lệ nghịch với,khoảng cách bắn. Anh ta bắn lần đầu ở khoảng cách 20m với xác suất trúng thỏ là 0,5; nếu bị trượt anh ta,bắn viên thứ hai ở khoảng cách 30m; nếu lại trượt anh ta bắn viên thứ ba ở khoảng cách 40m. Tính xác,suất để người thợ săn bắn được thỏ.,----HẾT---

Question

Giúp em với Câu 18. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin^3x.\cos x$ thỏa mãn $F(0)=\pi.$ Tính $F(\frac\pi2).$,(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). 3,29,IV. TỰ LUẬN,Câu 19. Một biển quảng cáo có dạng hình vuông ABCD cạnh $AB=4~m.$ Trên tấm biển đó có các đường,tròn tâm A và đường tròn tâm B cùng bán kính $R=4~m.$ hai đường tròn cắt nhau như hình vẽ. Chi phí đề,sơn phần gạch chéo là $150000~đồng/m^2.$ chi phí sơn phần màu đen là 100000 đồng/ $m^2$ và chi phí để sơn,phần còn lại là 250000 đồng/m',$m^2$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/5531f83cf0434bb681367a6389b7ca2a.jpg />,Tính số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách trên,Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho các điểm $M(m;0;0),~N(0;n;0),~P(0;0;p)$ không trùng với gốc tọa,độ và thỏa mãn $m^2+n^2+p^2=3,m,n,p$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến,mặt phẳng (MNP) . (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).,Câu 21. Một người săn thỏ trong rừng, khả năng anh ta bắn trúng thỏ trong mỗi lần bắn tỷ lệ nghịch với,khoảng cách bắn. Anh ta bắn lần đầu ở khoảng cách 20m với xác suất trúng thỏ là 0,5; nếu bị trượt anh ta,bắn viên thứ hai ở khoảng cách 30m; nếu lại trượt anh ta bắn viên thứ ba ở khoảng cách 40m. Tính xác,suất để người thợ săn bắn được thỏ.,----HẾT---

Accepted Answer

Câu 18.
Để tính $F(\frac{\pi}{2})$, trước tiên chúng ta cần tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \sin^3 x \cdot \cos x$.

Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x)$.

Ta có:
$$ f(x) = \sin^3 x \cdot \cos x $$

Chúng ta nhận thấy rằng $\sin^3 x \cdot \cos x$ có dạng $u^3 \cdot du$, trong đó $u = \sin x$ và $du = \cos x \, dx$. Do đó, ta có thể thực hiện phép thế để tính nguyên hàm.

Gọi $u = \sin x$, thì $du = \cos x \, dx$.

Do đó:
$$ \int \sin^3 x \cdot \cos x \, dx = \int u^3 \, du $$

Tính nguyên hàm:
$$ \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C $$

Vậy:
$$ F(x) = \frac{\sin^4 x}{4} + C $$

Bước 2: Xác định hằng số $C$ dựa trên điều kiện $F(0) = \pi$.

Thay $x = 0$ vào $F(x)$:
$$ F(0) = \frac{\sin^4 0}{4} + C = 0 + C = C $$

Theo đề bài, $F(0) = \pi$, do đó:
$$ C = \pi $$

Vậy:
$$ F(x) = \frac{\sin^4 x}{4} + \pi $$

Bước 3: Tính $F(\frac{\pi}{2})$.

Thay $x = \frac{\pi}{2}$ vào $F(x)$:
$$ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin^4 \left(\frac{\pi}{2}\right)}{4} + \pi $$

Biết rằng $\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, nên:
$$ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1^4}{4} + \pi = \frac{1}{4} + \pi $$

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm:
$$ F\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx 0.25 + 3.14 = 3.39 $$

Vậy:
$$ F\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx 3.39 $$

Câu 19.
Diện tích hình vuông ABCD là:
$$ S_{ABCD} = AB^2 = 4^2 = 16 \text{ m}^2 $$

Diện tích mỗi nửa hình tròn tâm A hoặc B là:
$$ S_{\text{nửa hình tròn}} = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi \times 4^2 = 8\pi \text{ m}^2 $$

Diện tích phần giao giữa hai nửa hình tròn (phần gạch chéo) là:
$$ S_{\text{giao}} = 2 \left( \frac{1}{6} \pi R^2 - \frac{1}{2} R^2 \sin \frac{\pi}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \pi \times 16 - \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \left( \frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3} \right) = \frac{16\pi}{3} - 8\sqrt{3} \text{ m}^2 $$

Diện tích phần đen là:
$$ S_{\text{đen}} = 2 \left( 8\pi - \left( \frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3} \right) \right) = 2 \left( 8\pi - \frac{8\pi}{3} + 4\sqrt{3} \right) = 2 \left( \frac{24\pi - 8\pi}{3} + 4\sqrt{3} \right) = 2 \left( \frac{16\pi}{3} + 4\sqrt{3} \right) = \frac{32\pi}{3} + 8\sqrt{3} \text{ m}^2 $$

Diện tích phần còn lại là:
$$ S_{\text{còn lại}} = 16 - \left( \frac{16\pi}{3} - 8\sqrt{3} + \frac{32\pi}{3} + 8\sqrt{3} \right) = 16 - \left( \frac{48\pi}{3} \right) = 16 - 16\pi \text{ m}^2 $$

Số tiền để sơn phần gạch chéo là:
$$ \text{Tiền gạch chéo} = \left( \frac{16\pi}{3} - 8\sqrt{3} \right) \times 150000 = 800000\pi - 1200000\sqrt{3} \text{ đồng} $$

Số tiền để sơn phần đen là:
$$ \text{Tiền đen} = \left( \frac{32\pi}{3} + 8\sqrt{3} \right) \times 100000 = \frac{3200000\pi}{3} + 800000\sqrt{3} \text{ đồng} $$

Số tiền để sơn phần còn lại là:
$$ \text{Tiền còn lại} = (16 - 16\pi) \times 250000 = 4000000 - 4000000\pi \text{ đồng} $$

Tổng số tiền để sơn biển quảng cáo là:
$$ \text{Tổng tiền} = 800000\pi - 1200000\sqrt{3} + \frac{3200000\pi}{3} + 800000\sqrt{3} + 4000000 - 4000000\pi $$
$$ = 4000000 + \left( 800000\pi + \frac{3200000\pi}{3} - 4000000\pi \right) + \left( -1200000\sqrt{3} + 800000\sqrt{3} \right) $$
$$ = 4000000 + \left( \frac{2400000\pi + 3200000\pi - 12000000\pi}{3} \right) - 400000\sqrt{3} $$
$$ = 4000000 + \left( \frac{-6400000\pi}{3} \right) - 400000\sqrt{3} $$
$$ = 4000000 - \frac{6400000\pi}{3} - 400000\sqrt{3} $$

Đáp số: Tổng số tiền để sơn biển quảng cáo là $ 4000000 - \frac{6400000\pi}{3} - 400000\sqrt{3} $ đồng.

Câu 20.
Để tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng (MNP), ta sẽ sử dụng phương pháp tiếp theo:

1. Tìm phương trình mặt phẳng (MNP):
   - Mặt phẳng (MNP) đi qua ba điểm M(m, 0, 0), N(0, n, 0), P(0, 0, p). Ta viết phương trình mặt phẳng dưới dạng chia tỷ lệ:
     $$
     \frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1
     $$

2. Tính khoảng cách từ O(0, 0, 0) đến mặt phẳng (MNP):
   - Khoảng cách từ điểm O(0, 0, 0) đến mặt phẳng $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1$ được tính bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
     $$
     d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
     $$
   - Trong đó, A = $\frac{1}{m}$, B = $\frac{1}{n}$, C = $\frac{1}{p}$, D = -1, và (x₀, y₀, z₀) = (0, 0, 0).

Do đó:
   $$
   d = \frac{|0 + 0 + 0 - 1|}{\sqrt{\left(\frac{1}{m}\right)^2 + \left(\frac{1}{n}\right)^2 + \left(\frac{1}{p}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{p^2}}}
   $$

3. Áp dụng điều kiện $m^2 + n^2 + p^2 = 3$:
   - Ta cần tối đa hóa $d = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{p^2}}}$. Để làm điều này, ta cần tối thiểu hóa $\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{p^2}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
   $$
   \left(\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{p^2}\right)(m^2 + n^2 + p^2) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9
   $$
   Vì $m^2 + n^2 + p^2 = 3$, ta có:
   $$
   \frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{p^2} \geq \frac{9}{3} = 3
   $$
   Đẳng thức xảy ra khi $m = n = p$. Do đó, $m = n = p = 1$.

4. Tính giá trị lớn nhất của khoảng cách:
   - Khi $m = n = p = 1$:
     $$
     d = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{1^2} + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{1^2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577
     $$

Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng (MNP) là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ hoặc khoảng 0.58 (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 21.
Khả năng bắn trúng thỏ tỷ lệ nghịch với khoảng cách bắn, do đó xác suất bắn trúng thỏ cũng tỷ lệ nghịch với khoảng cách bắn.

- Xác suất bắn trúng thỏ ở khoảng cách 20m là 0,5.
- Xác suất bắn trúng thỏ ở khoảng cách 30m là $\frac{20}{30} \times 0,5 = \frac{2}{3} \times 0,5 = \frac{1}{3}$.
- Xác suất bắn trúng thỏ ở khoảng cách 40m là $\frac{20}{40} \times 0,5 = \frac{1}{2} \times 0,5 = \frac{1}{4}$.

Xác suất để người thợ săn bắn được thỏ là tổng xác suất của các trường hợp bắn trúng thỏ ở mỗi lần bắn.

- Xác suất bắn trúng thỏ ở lần đầu tiên: 0,5.
- Xác suất bắn trượt lần đầu tiên và bắn trúng ở lần thứ hai: $(1 - 0,5) \times \frac{1}{3} = 0,5 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
- Xác suất bắn trượt cả hai lần đầu tiên và bắn trúng ở lần thứ ba: $(1 - 0,5) \times (1 - \frac{1}{3}) \times \frac{1}{4} = 0,5 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.

Vậy xác suất để người thợ săn bắn được thỏ là:
$$ 0,5 + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} $$

Đáp số: $\frac{3}{4}$