giueps em với ạ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ,BÀI TẬP TỰ LUẬN,Bài 1. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số,$a)~y=x^3+mx^2+2mx+2$ đồng biến trên $(-\infty;+\infty).$,$b)~y=-\frac13x^3-mx^2+(2m-8)x-m+2$ nghịch biến trên R.,$c)~y=\frac13x^3-mx^2-(2m+1)x+1$ nghịch biến trên khoảng $(0;5).$,$d)~y=x^3-8x^2+(5-m)x$ đồng biến trên khoảng $(2;+\infty).$

Question

Accepted Answer

Bài 1.
Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm để xác định tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số.

a) Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số $y = x^3 + mx^2 + 2mx + 2$ đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số:
$$ y' = 3x^2 + 2mx + 2m $$

Bước 2: Để hàm số đồng biến trên toàn bộ khoảng $(-\infty; +\infty)$, đạo hàm $y'$ phải lớn hơn hoặc bằng 0 cho mọi $x$:
$$ 3x^2 + 2mx + 2m \geq 0 $$

Bước 3: Xét dấu của tam thức bậc hai $3x^2 + 2mx + 2m$. Để tam thức này luôn dương hoặc bằng 0, ta cần:
$$ \Delta = (2m)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2m \leq 0 $$
$$ 4m^2 - 24m \leq 0 $$
$$ 4m(m - 6) \leq 0 $$

Bước 4: Giải bất phương trình:
$$ 0 \leq m \leq 6 $$

Vậy, giá trị của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$ là:
$$ 0 \leq m \leq 6 $$

b) Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số $y = -\frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (2m - 8)x - m + 2$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số:
$$ y' = -x^2 - 2mx + 2m - 8 $$

Bước 2: Để hàm số nghịch biến trên toàn bộ khoảng $\mathbb{R}$, đạo hàm $y'$ phải nhỏ hơn hoặc bằng 0 cho mọi $x$:
$$ -x^2 - 2mx + 2m - 8 \leq 0 $$

Bước 3: Xét dấu của tam thức bậc hai $-x^2 - 2mx + 2m - 8$. Để tam thức này luôn âm hoặc bằng 0, ta cần:
$$ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (2m - 8) \leq 0 $$
$$ 4m^2 + 8m - 32 \leq 0 $$
$$ m^2 + 2m - 8 \leq 0 $$

Bước 4: Giải bất phương trình:
$$ (m + 4)(m - 2) \leq 0 $$
$$ -4 \leq m \leq 2 $$

Vậy, giá trị của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là:
$$ -4 \leq m \leq 2 $$

c) Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 - (2m + 1)x + 1$ nghịch biến trên khoảng $(0; 5)$.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số:
$$ y' = x^2 - 2mx - (2m + 1) $$

Bước 2: Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 5)$, đạo hàm $y'$ phải nhỏ hơn hoặc bằng 0 cho mọi $x$ trong khoảng $(0; 5)$:
$$ x^2 - 2mx - (2m + 1) \leq 0 $$

Bước 3: Ta cần kiểm tra điều kiện tại các điểm biên của khoảng $(0; 5)$:
- Tại $x = 0$: $0^2 - 2m \cdot 0 - (2m + 1) = -(2m + 1) \leq 0$
  $$ 2m + 1 \geq 0 $$
  $$ m \geq -\frac{1}{2} $$

- Tại $x = 5$: $5^2 - 2m \cdot 5 - (2m + 1) = 25 - 10m - 2m - 1 = 24 - 12m \leq 0$
  $$ 24 \leq 12m $$
  $$ m \geq 2 $$

Bước 4: Kết hợp các điều kiện:
$$ m \geq 2 $$

Vậy, giá trị của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 5)$ là:
$$ m \geq 2 $$

d) Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số $y = x^3 - 8x^2 + (5 - m)x$ đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số:
$$ y' = 3x^2 - 16x + (5 - m) $$

Bước 2: Để hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$, đạo hàm $y'$ phải lớn hơn hoặc bằng 0 cho mọi $x$ trong khoảng $(2; +\infty)$:
$$ 3x^2 - 16x + (5 - m) \geq 0 $$

Bước 3: Ta cần kiểm tra điều kiện tại điểm biên của khoảng $(2; +\infty)$:
- Tại $x = 2$: $3 \cdot 2^2 - 16 \cdot 2 + (5 - m) = 12 - 32 + 5 - m = -15 - m \geq 0$
  $$ -15 - m \geq 0 $$
  $$ m \leq -15 $$

Bước 4: Kết hợp các điều kiện:
$$ m \leq -15 $$

Vậy, giá trị của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$ là:
$$ m \leq -15 $$