help meeeeeee

Câu 1: a) Đúng vì nếu \( m \neq 0 \) thì hàm số có dạng \( y = mx^3 + mx^2 - (m+1)x + 1 \), đây là hàm số bậc ba. b) Đúng vì hàm số \( y = mx^3 + mx^2 - (m+1)x + 1 \) là đa thức nên tập xác định của nó là \( \mathbb{R} \). c) Sai. Để hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \), đạo hàm \( y' \) phải dương trên toàn bộ \( \mathbb{R} \). Ta có: \[ y' = 3mx^2 + 2mx - (m+1) \] Hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \) khi và chỉ khi \( y' > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Điều này xảy ra khi \( 3mx^2 + 2mx - (m+1) > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Điều này chỉ đúng khi \( m > 0 \) và \( \Delta < 0 \): \[ \Delta = (2m)^2 - 4 \cdot 3m \cdot -(m+1) = 4m^2 + 12m(m+1) = 4m^2 + 12m^2 + 12m = 16m^2 + 12m \] \[ 16m^2 + 12m < 0 \] \[ 4m(4m + 3) < 0 \] \[ -\frac{3}{4} < m < 0 \] Do đó, hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \) khi và chỉ khi \( m > 0 \). d) Sai. Để hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \), đạo hàm \( y' \) phải âm trên toàn bộ \( \mathbb{R} \). Ta có: \[ y' = 3mx^2 + 2mx - (m+1) \] Hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \) khi và chỉ khi \( y' < 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Điều này xảy ra khi \( 3mx^2 + 2mx - (m+1) < 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Điều này chỉ đúng khi \( m < 0 \) và \( \Delta < 0 \): \[ \Delta = (2m)^2 - 4 \cdot 3m \cdot -(m+1) = 4m^2 + 12m(m+1) = 4m^2 + 12m^2 + 12m = 16m^2 + 12m \] \[ 16m^2 + 12m < 0 \] \[ 4m(4m + 3) < 0 \] \[ -\frac{3}{4} < m < 0 \] Do đó, hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \) khi và chỉ khi \( -\frac{3}{4} < m < 0 \). Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai. Câu 2: a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$: Hàm số $y=\frac{1}{3}x^3+(m+1)x^2+(m^2+2m)x-3$ là một đa thức bậc ba, do đó tập xác định của nó là toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$. b) Phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1=-m$ và $x_2=-m-2$: Đạo hàm của hàm số $y$ theo $x$ là: \[ y' = x^2 + 2(m+1)x + (m^2 + 2m). \] Phương trình $y' = 0$ trở thành: \[ x^2 + 2(m+1)x + (m^2 + 2m) = 0. \] Ta giải phương trình này bằng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \] trong đó $a = 1$, $b = 2(m+1)$, và $c = m^2 + 2m$. Ta tính biệt thức $\Delta$: \[ \Delta = b^2 - 4ac = [2(m+1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 + 2m) = 4(m+1)^2 - 4(m^2 + 2m) = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 + 2m) = 4. \] Do $\Delta > 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ x = \frac{-2(m+1) \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-2(m+1) \pm 2}{2} = -(m+1) \pm 1. \] Vậy hai nghiệm là: \[ x_1 = -(m+1) + 1 = -m, \] \[ x_2 = -(m+1) - 1 = -m-2. \] c) Không tồn tại giá trị của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$: Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nếu $y' > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Tuy nhiên, từ phần b), ta thấy rằng $y'$ là một đa thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt, do đó $y'$ không thể luôn dương trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Vậy không tồn tại giá trị của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. d) Hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$ khi và chỉ khi $m \geq -1$: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$ nếu $y' < 0$ với mọi $x \in (-1;1)$. Từ phần b), ta biết rằng $y'$ có hai nghiệm $x_1 = -m$ và $x_2 = -m-2$. Để $y' < 0$ trên $(-1;1)$, khoảng $(-1;1)$ phải nằm giữa hai nghiệm này. Điều này xảy ra khi: \[ -m-2 \leq -1 \quad \text{và} \quad -m \geq 1. \] Giải các bất phương trình này: \[ -m-2 \leq -1 \implies -m \leq 1 \implies m \geq -1, \] \[ -m \geq 1 \implies m \leq -1. \] Kết hợp hai điều kiện này, ta có: \[ m \geq -1. \] Vậy hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$ khi và chỉ khi $m \geq -1$. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định a), b), c) và d). Khảo sát hàm số \( y = \frac{x + 5}{x + m} \) Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( y = \frac{x + 5}{x + m} \) có mẫu số là \( x + m \). Để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0: \[ x + m \neq 0 \] \[ x \neq -m \] Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{-m\} \] Khẳng định a) nói rằng tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \). Điều này chỉ đúng nếu \( -m \) không thuộc \( \mathbb{R} \), tức là \( m \) phải là số phức, nhưng trong ngữ cảnh của bài toán này, \( m \) là tham số thực. Do đó, khẳng định a) sai. Bước 2: Xét tính đơn điệu của hàm số Để xét tính đơn điệu của hàm số, chúng ta cần tính đạo hàm của \( y \): \[ y = \frac{x + 5}{x + m} \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(x + m)(1) - (x + 5)(1)}{(x + m)^2} \] \[ y' = \frac{x + m - x - 5}{(x + m)^2} \] \[ y' = \frac{m - 5}{(x + m)^2} \] - Nếu \( m > 5 \), thì \( y' > 0 \) với mọi \( x \neq -m \). Do đó, hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. - Nếu \( m < 5 \), thì \( y' < 0 \) với mọi \( x \neq -m \). Do đó, hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. - Nếu \( m = 5 \), thì \( y' = 0 \) với mọi \( x \neq -m \). Do đó, hàm số không đổi trên từng khoảng xác định. Khẳng định b) nói rằng hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi \( m \geq 5 \). Điều này sai vì khi \( m = 5 \), hàm số không đổi, không phải đồng biến. Khẳng định c) nói rằng hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi \( m < 5 \). Điều này đúng. Bước 3: Kiểm tra khẳng định d) Khẳng định d) nói rằng hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; -8) \) khi và chỉ khi \( m \in (5; 8) \). Để hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; -8) \), đạo hàm \( y' \) phải dương trên khoảng này: \[ y' = \frac{m - 5}{(x + m)^2} > 0 \] Do \( (x + m)^2 > 0 \) với mọi \( x \neq -m \), nên \( y' > 0 \) khi và chỉ khi \( m - 5 > 0 \), tức là \( m > 5 \). Tuy nhiên, để đảm bảo rằng hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; -8) \), \( m \) phải nằm trong khoảng \( (5; 8) \). Khẳng định d) đúng. Kết luận - Khẳng định a) sai. - Khẳng định b) sai. - Khẳng định c) đúng. - Khẳng định d) đúng.