Giải hộ e với ạ

Câu 11: Để giải quyết câu hỏi về giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x + \frac{1}{x-1} \) trên khoảng \( (1; +\infty) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( x + \frac{1}{x-1} \right)' = 1 - \frac{1}{(x-1)^2} \] 2. Xác định điểm cực trị: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ y' = 0 \implies 1 - \frac{1}{(x-1)^2} = 0 \implies \frac{1}{(x-1)^2} = 1 \implies (x-1)^2 = 1 \implies x-1 = \pm 1 \] Do \( x \) thuộc khoảng \( (1; +\infty) \), ta chỉ xét trường hợp \( x - 1 = 1 \): \[ x = 2 \] 3. Kiểm tra tính chất của điểm cực trị: Ta kiểm tra đạo hàm hai bên điểm \( x = 2 \): - Khi \( x < 2 \) (như \( x = 1.5 \)): \[ y' = 1 - \frac{1}{(1.5-1)^2} = 1 - \frac{1}{0.25} = 1 - 4 = -3 < 0 \] - Khi \( x > 2 \) (như \( x = 2.5 \)): \[ y' = 1 - \frac{1}{(2.5-1)^2} = 1 - \frac{1}{2.25} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} > 0 \] Vì đạo hàm chuyển từ âm sang dương tại \( x = 2 \), hàm số đạt giá trị cực tiểu tại điểm này. 4. Tính giá trị cực tiểu: \[ y(2) = 2 + \frac{1}{2-1} = 2 + 1 = 3 \] 5. Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3, đạt được khi \( x = 2 \). Do đó, các lựa chọn đúng là: - a) Tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số. - c) Giá trị nhỏ nhất bằng giá trị cực tiểu. - d) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = 2 \). Đáp án: a, c, d. Câu 12: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta có thể phân tích từng lựa chọn như sau: a) Hàm số có hai điểm cực trị: - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ và đạt cực tiểu tại $x = 2$. Do đó, hàm số có hai điểm cực trị. Điều này là đúng. b) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng -3: - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi $x = -1$. Tuy nhiên, giá trị nhỏ nhất của hàm số không phải là -3 mà là giá trị tiếp cận gần -3 khi $x$ tiến đến $-\infty$. Do đó, điều này là sai. c) Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận: - Bảng biến thiên cho thấy rằng khi $x$ tiến đến $-\infty$, giá trị của hàm số tiếp cận gần -3. Điều này cho thấy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là $y = -3$. Do đó, điều này là đúng. d) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty;-1)$, $(2;+\infty)$: - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số giảm trên khoảng $(-\infty; -1)$ và tăng trên khoảng $(2; +\infty)$. Do đó, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty; -1)$ và $(2; +\infty)$. Điều này là đúng. Tóm lại, các lựa chọn đúng là: a) Hàm số có hai điểm cực trị. c) Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận. d) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty; -1)$, $(2; +\infty)$. Câu 13: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = \frac{1}{x^2 + 1}$. Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số: - Hàm số $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ có mẫu số là $x^2 + 1$, luôn dương với mọi giá trị của $x$. Do đó, hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$. Bước 2: Xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng: - Khi $x \to \pm\infty$, $x^2 \to \infty$, do đó $x^2 + 1 \to \infty$. Vì vậy, $y = \frac{1}{x^2 + 1} \to 0$. Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số đạt giá trị lớn nhất khi $x = 0$. Tại điểm này, $y = \frac{1}{0^2 + 1} = 1$. - Hàm số không có giá trị nhỏ nhất vì khi $x \to \pm\infty$, $y \to 0$ nhưng không bao giờ đạt giá trị 0. Bước 4: Xét điểm cực trị của hàm số: - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ với giá trị $y = 1$. Từ những phân tích trên, ta có thể kết luận: - Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và không có giá trị nhỏ nhất. - Hàm số có một điểm cực trị (cực đại) tại $x = 0$. Do đó, đáp án đúng là: d) Hàm số có một điểm cực trị. Đáp số: d) Hàm số có một điểm cực trị.