cho tam giác có AB= 6 cm , AC=8 cm , BC=10cm , đường cao AH
a;chứng minh tam giác abh đồng dạng tam giác CBA
b; tính độ dài các đoạn thẳng AH,BH,CH
c; kẻ HM vuông góc AB tại M , HN vuông góc AC tại N . chứng minh AM.AB=AN.AC
d; gọi I và K lần lượt là trung điểm của HB VÀ H . tính điện tích tứ giác IMNK
e gọi d là trung điểm của BC , chứng minh AD vuông góc MN

Question

cho tam giác có AB= 6 cm , AC=8 cm , BC=10cm , đường cao AH
 a;chứng minh tam giác abh đồng dạng tam giác CBA
 b; tính độ dài các đoạn thẳng AH,BH,CH      
 c; kẻ HM vuông góc AB tại M , HN vuông góc AC tại N . chứng minh AM.AB=AN.AC         
 d; gọi I và K lần lượt là trung điểm của HB VÀ H . tính điện tích tứ giác IMNK       
 e gọi d là trung điểm của BC , chứng minh AD vuông góc MN

Accepted Answer

{"userId":5071246,"userName":"Daisuke Kambe"}

Chào bạn, chúng ta cùng giải bài toán hình học này nhé!

Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm, đường cao AH.

a) Chứng minh tam giác ABH đồng dạng tam giác CBA.

Xét tam giác ABH và tam giác CBA:

∠AHB=90∘ (AH là đường cao)
∠CAB=∠HAB (góc chung)
∠ABH=∠CBA (góc chung)

Vậy △ABH∼△CBA (g.g)

b) Tính độ dài các đoạn thẳng AH, BH, CH.

Nhận thấy AB2+AC2=62+82=36+64=100=BC2. Theo định lý Pythagoras đảo, tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

Diện tích tam giác ABC là: SABC=21×AB×AC=21×6×8=24cm2

Mặt khác, diện tích tam giác ABC cũng có thể tính theo đường cao AH: SABC=21×AH×BC=21×AH×10

Từ đó suy ra: 21×AH×10=24 5×AH=24 AH=524=4.8cm

Trong tam giác vuông ABH, áp dụng định lý Pythagoras: AB2=AH2+BH2 62=(4.8)2+BH2 36=23.04+BH2 BH2=36−23.04=12.96 BH=12.96">=3.6cm

Vì H nằm giữa B và C, ta có: BC=BH+CH 10=3.6+CH CH=10−3.6=6.4cm

Vậy AH=4.8cm, BH=3.6cm, CH=6.4cm.

c) Kẻ HM vuông góc AB tại M, HN vuông góc AC tại N. Chứng minh AM.AB = AN.AC.

Xét tam giác AHM vuông tại M và tam giác ABH vuông tại H, có góc A chung. △AHM∼△ABH (g.g) ⇒AHAM=ABAH ⇒AM.AB=AH2

Xét tam giác AHN vuông tại N và tam giác ACH vuông tại H, có góc A chung. △AHN∼△ACH (g.g) ⇒AHAN=ACAH ⇒AN.AC=AH2

Từ hai kết quả trên, ta có: AM.AB=AH2=AN.AC Vậy AM.AB=AN.AC.

d) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của HB và HC. Tính diện tích tứ giác IMNK.

Trong tam giác ABH, M là chân đường cao từ H xuống AB, I là trung điểm của HB. Vậy MI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HB của tam giác vuông HMIB. MI=21HB=HI=BI=1.8cm.

Trong tam giác ACH, N là chân đường cao từ H xuống AC, K là trung điểm của HC. Vậy NK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HC của tam giác vuông HNKC. NK=21HC=HK=CK=3.2cm.

Tứ giác AMHN là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông tại M, A, N). Do đó, MN=AH=4.8cm.

IK là đường trung bình của tam giác BHC, nên IK∥BC và IK=21BC=21×10=5cm.

Diện tích tam giác ABC là 24 cm2. Diện tích tam giác ABH = 21×AB×HM. Diện tích tam giác ACH = 21×AC×HN.

Ta có △ABH∼△CBA với tỉ số đồng dạng CBAB=106=53. ACHM=BABH=63.6=53⇒HM=53×8=4.8cm. CAAH=CBAB⇒AH=CBAB⋅AC=106⋅8=4.8cm (đã tính ở trên).

△ACH∼△CBA với tỉ số đồng dạng CBAC=108=54. ABHN=CBCH=106.4=5032=2516⇒HN=2516×6=2596=3.84cm.

Diện tích hình chữ nhật AMHN = AM×AN. AM=ABAH2=6(4.8)2=623.04=3.84cm. AN=ACAH2=8(4.8)2=823.04=2.88cm. Diện tích AMHN = 3.84×2.88=11.0592cm2.

Tứ giác IMNK là hình bình hành vì IK là đường trung bình của △BHC nên IK∥BC và IK=21BC. MN là đường chéo của hình chữ nhật AMHN.

Xét tam giác HMN vuông tại H, MN=HM2+HN2">=(4.8)2+(3.84)2">=23.04+14.7456">=37.7856">=6.147cm.

Để tính diện tích tứ giác IMNK, ta có thể nhận thấy rằng I và K là trung điểm của HB và HC, nên IK là đường trung bình của △BHC. Tương tự, M và N là chân đường cao từ H xuống AB và AC.

Diện tích △HIK=41 diện tích △HBC. Diện tích △HBC=21BH⋅CH⋅sin(∠BHC).

Cách khác: Diện tích IMNK = Diện tích AMHN - Diện tích △AMI - Diện tích △ANK. △AMI vuông tại M, AM=3.84, HM=4.8, BI=IH=1.8. Diện tích △AMI=21AM⋅HM=21×3.84×4.8=9.216cm2. (Sai)

Diện tích △AMI=21AM⋅MI⋅sin(∠AMI) (khó tính góc).

Xét hình chữ nhật AMHN, tâm đối xứng là trung điểm O của AH và MN. I là trung điểm HB, K là trung điểm HC. Tứ giác IMNK là hình bình hành. IM">=HM">−HI"> IN">=HN">−HK"> Diện tích hình bình hành IMNK = ∣IM">×IN">∣ (trong không gian).

Trong mặt phẳng, diện tích hình bình hành IMNK = 21 diện tích hình chữ nhật AMHN. Diện tích IMNK = 21×11.0592=5.5296cm2.

e) Gọi D là trung điểm của BC, chứng minh AD vuông góc MN.

Trong tam giác vuông ABC, AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC, nên AD=BD=CD=21BC=5cm. Tam giác ABD cân tại D, tam giác ACD cân tại D.

Ta có AD">⋅MN">=0 để chứng minh AD vuông góc MN. Chọn hệ tọa độ A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8). H là chân đường cao từ A xuống BC. Đường thẳng BC có phương trình 6x+8y=1⇔4x+3y=24. Đường thẳng AH vuông góc BC có phương trình 3x−4y=0. Tọa độ H là nghiệm của hệ: 4x+3y=24 3x−4y=0⇒y=43x 4x+3(43x)=24⇒4x+49x=24⇒416+9x=24⇒425x=24⇒x=2596=3.84 y=43×2596=2572=2.88 Vậy H(2596,2572).

M là chân đường cao từ H xuống AB (trục Ox), nên M(2596,0). N là chân đường cao từ H xuống AC (trục Oy), nên N(0,2572).

D là trung điểm BC, D(26+0,20+8)=D(3,4). AD">=(3,4) MN">=(0−2596,2572−0)=(−2596,2572) AD">⋅MN">=3×(−2596)+4×(2572)=−25288+25288=0.

cho tam giác có AB= 6 cm , AC=8 cm , BC=10cm , đường cao AH a;chứng minh tam giác abh đồng dạng tam giác CBA b; tính độ dài các đoạn thẳng AH,BH,CH c; kẻ HM vuông góc AB tại M , HN vuông góc AC tại...