toán vớiiii

Câu 1. Phương trình của mặt phẳng (P) là: $x - 2y - 3z + 8 = 0$ Ta nhận thấy rằng, trong phương trình này, các hệ số của $x$, $y$, và $z$ lần lượt là 1, -2, và -3. Mặt khác, vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng có phương trình dạng $ax + by + cz + d = 0$ là $(a, b, c)$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $(1, -2, -3)$. Vậy đáp án đúng là: $\textcircled{C.}~(1;-2;-3).$ Câu 2. Để viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm \( M(2, -3, 4) \) và có một vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u} = (2, -1, 3) \), ta sử dụng công thức chung của phương trình đường thẳng trong không gian: \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \] Trong đó: - \( (x_0, y_0, z_0) \) là tọa độ của điểm \( M \), - \( (a, b, c) \) là các thành phần của vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u} \). Thay tọa độ của điểm \( M \) và các thành phần của vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u} \) vào công thức trên, ta có: \[ \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z - 4}{3} \] Do đó, phương trình của đường thẳng là: \[ \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z - 4}{3} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z - 4}{3} \] Câu 3. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây? Ta thấy từ bảng biến thiên: - Trên khoảng $(-\infty; 2)$, hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(2; 4)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(4; +\infty)$, hàm số nghịch biến. Do đó, hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(2; 4)$. Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, chỉ có khoảng $(4; +\infty)$ là có trong danh sách. Vì vậy, đáp án đúng là: $\textcircled{C.}~(4;+\infty)$ Đáp án: C. $(4; +\infty)$ Câu 4. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng: - Tính trọng số trung tâm của mỗi khoảng: \[ \begin{aligned} &\text{Khoảng } [20;25): \quad \text{Trọng số trung tâm} = \frac{20 + 25}{2} = 22.5 \\ &\text{Khoảng } [25;30): \quad \text{Trọng số trung tâm} = \frac{25 + 30}{2} = 27.5 \\ &\text{Khoảng } [30;35): \quad \text{Trọng số trung tâm} = \frac{30 + 35}{2} = 32.5 \\ &\text{Khoảng } [35;40): \quad \text{Trọng số trung tâm} = \frac{35 + 40}{2} = 37.5 \\ &\text{Khoảng } [40;45): \quad \text{Trọng số trung tâm} = \frac{40 + 45}{2} = 42.5 \\ \end{aligned} \] - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{5} f_i \cdot x_i}{\sum_{i=1}^{5} f_i} \] Trong đó, \(f_i\) là số lượng các giá trị trong mỗi khoảng và \(x_i\) là trọng số trung tâm của mỗi khoảng. \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{5} f_i \cdot x_i = 6 \cdot 22.5 + 6 \cdot 27.5 + 4 \cdot 32.5 + 1 \cdot 37.5 + 1 \cdot 42.5 \\ &= 135 + 165 + 130 + 37.5 + 42.5 = 510 \\ &\sum_{i=1}^{5} f_i = 6 + 6 + 4 + 1 + 1 = 18 \\ &\bar{x} = \frac{510}{18} = 28.3333 \\ \end{aligned} \] 2. Tính phương sai: - Phương sai \(s^2\) được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{5} f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{5} f_i} \] \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{5} f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2 = 6 \cdot (22.5 - 28.3333)^2 + 6 \cdot (27.5 - 28.3333)^2 + 4 \cdot (32.5 - 28.3333)^2 \\ &+ 1 \cdot (37.5 - 28.3333)^2 + 1 \cdot (42.5 - 28.3333)^2 \\ &= 6 \cdot (-5.8333)^2 + 6 \cdot (-0.8333)^2 + 4 \cdot (4.1667)^2 + 1 \cdot (9.1667)^2 + 1 \cdot (14.1667)^2 \\ &= 6 \cdot 34.0278 + 6 \cdot 0.6944 + 4 \cdot 17.3611 + 1 \cdot 84.0278 + 1 \cdot 200.6944 \\ &= 204.1668 + 4.1664 + 69.4444 + 84.0278 + 200.6944 \\ &= 562.5 \\ &s^2 = \frac{562.5}{18} = 31.25 \\ \end{aligned} \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm gần nhất với giá trị 31.25. Đáp án đúng là: D. 31. Câu 5. Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,~x=b$ là: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Lập luận từng bước: 1. Điều kiện xác định: Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$. 2. Phương pháp tính diện tích: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ được tính bằng tích phân của giá trị tuyệt đối của hàm số $f(x)$ từ $a$ đến $b$. 3. Áp dụng công thức tích phân: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx} \] Câu 6. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = a^x \) (với \( 0 < a \neq 1 \)), chúng ta sẽ sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ cơ bản. Công thức nguyên hàm của hàm số \( a^x \) là: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Trong đó: - \( a \) là hằng số dương khác 1. - \( \ln a \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). - \( C \) là hằng số tích phân. Do đó, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = a^x \) là: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ \textcircled{C}.~\frac{a^x}{\ln a} + C \] Câu 7. Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, ta cần xác định giá trị của $x$ làm mẫu số bằng 0. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Điều kiện xác định của hàm số là mẫu số khác 0: \[ cx + d \neq 0 \] Bước 2: Tìm giá trị của $x$ làm mẫu số bằng 0 Giải phương trình: \[ cx + d = 0 \] \[ x = -\frac{d}{c} \] Bước 3: Kết luận Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x = -\frac{d}{c}$. Vậy, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ là $x = -\frac{d}{c}$.